Riassunto esame Termofluidodinamica, Prof. Zanino Roberto, libro consigliato Fundamentals of fluid mechanics , Munson

Cap 6: Analisi differenziale di un flusso

Governata da equazioni differenziali e da descrizioni al contorno. Nel capitolo 5 abbiamo considerato flussi e fluidi attraverso superfici, ora consideriamo gli infinitesimi. Le equazioni differenziali possono essere semplificate: consideriamo trattamenti di fluidi viscosi e lavori dei bordi.

Campo di velocità e accelerazione

v = ui + vj + wk
a = D(v)/Dt = δv/δt + (∇·v)·V = δu/δx + u δu/δx + v δu/δy + w δu/δz δv/δy + u δv/δx + v δv/δy + w δv/δz δw/δz + u δw/δx + v δw/δy + w δw/δz

Tasso di dilatazione volumetrica

1/d d(δV)/dt = δu/δx + δv/δy + δw/δz = ∇·V

Implicazione quando ∇·(x)^ = incomprimibile in un flusso. Movimento arbitrario e deformazione.

Vortici

w = wkx + wj y + wkz
w = 1/2 ( ∇ rot ∇·V = ∇xV )
w_x = 1/2 ( δv/δx - δu/δy )
w_y = 1/2 ( δw/δy - δv/δz )
w_z = 1/2 ( δu/δz - δw/δx )

Vertici comb ζ = 2w j = ∇ x V se ∇·V | flusso di invasione. Tasso di deformazione angolare ( δV/δt sheer lief man) γ = δv/δx + δw/δy

Cap 6: Analisi differenziale di un flusso

Governata da equazioni differenziali che descrivono il moto dei fluidi. Nel capitolo 5: abbiamo considerato flussi e fluidi attraverso superfici, ora consideriamo gli infinitesimi. Le equazioni differenziali possono essere semplificate: considero trattamenti di fluidi viscosi - lavori dei bordi - invisco flussi.

Campo di velocità e accelerazione

V = ui + vj + wk
a = D(V)/dt = ∂V/∂t + (∇ . V) . V = ∂V/∂t + [ μ ( ∂V/∂x ) + v ∂V/∂y + w ∂V/∂z ) ]

1. ax = ∂u/∂t + u ∂u/∂x + v ∂u/∂y + w ∂u/∂z
2. ay = ∂v/∂t + u ∂v/∂x + v ∂v/∂y + w ∂v/∂z
3. az = ∂w/∂t + u ∂w/∂x + v ∂w/∂y + w ∂w/∂z

Tasso di dilatazione volumetrico

1 δ(δV)/δV dt = δu/δx + δv/δy + δw/δz = ∇ . V

Implicazione quando e = 0 equazione di Nausia modo in un flusso di flusso incomprensibile. Tasso di dilatazione volumetrico.

Movimento angolare e deformazione

Tenone di rotazione

w = wxi + wjy + wzkwx = 1/2 ( δv/δz - δw/δy )
wy = 1/2 ( δw/δx - δu/δz )
wz = 1/2 ( δu/δy - δv/δx )

Vorticità ζ = 2wi = ∇ X V se ∇ X V = termine d'inasorazione. Tasso di deformazione angolare ( δx/δt )shtarimente smnan γ = δv/δx + δu/δy

Equazione di continuità

Ricordiamo l'equazione di continuità CONS. MASSA

d/dt ∫_cv ρ dV + ∫_cs ρ V·n̂ dA = 0

Forma differenziale della conservazione della massa = equazione di continuità

∂ρ/∂t + ∂(ρv_x)/∂x + ∂(ρv_y)/∂y + ∂(ρv_z)/∂z = 0
∂ρ/∂t + ∇·ρv=0

Flusso stazionario → ∂/∂t = 0 → ∇·ρv = 0
Fluido incomprimibile → ρ = cost → ∂ρ/∂t = 0 → ∇·V = 0

Forma differenziale dell'equazione di continuità in coordinate cilindriche

V = v_rê_r + v_θê_θ + v_zê_z

∂ρ/∂t + 1/r ∂(ρv_r)/∂r + 1/r ∂(ρv_θ)/∂θ + ∂(ρv_z)/∂z = 0

Se il fluido è di massa costante ρ = cost si suppone

1/r ∂(rv_r)/∂r + 1/r ∂v_θ)/∂θ + ∂v_z)/∂z = 0

Funzione di corrente

Caso: flusso stazionario incomprimibile 2-D

1. ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0 (equazione di continuità)

Definiamo una funzione ψ che soddisfa l'1
u = ∂ψ/∂y, v = -∂ψ/∂x
Ottenere una unica funzione ψ(xy) → le linee in ψ = cost sono streamline
ψ = ∂ψ/∂x dx + ∂ψ/∂y dy = -v dx + u dy = 0, ψ = cost
dy/dx = v/u lungo ψ costante

Associato un costante a Ψ assegna una linea di flusso, il lemma di flusso conentito...

d_q = n • d_A

La variazione di Ψ è in relazione con la portata volumetrica al flusso
d_q = u dy - v dx   d_q =  δΨ dy +  δΨ dx   d_q =  dΨ    Ψ₂    Q = ∫^ψ2_ψ1 dψ =  Ψ₂ - Ψ₁

Funzione di corrente (coordinate cilindriche)

¹_{r  δ}^δ(rVr) + ¹_{r  δ}^δ(VΘ) = 0    EQ. contin. flusso incomprub., 2D Ψ (r, Θ)   →  V_r =   ₁^r δΨ_δΘV_Θ =   - _δΨ