Riassunto esame Termofluidodinamica, Prof. Zanino Roberto, libro consigliato Fundamentals of fluid mechanics, Munson

Stabilità ed equilibrio

Il centro di massa è il punto dove agisce la forza di gravità su quel corpo. Il baricentro coincide con il centro geometrico di un oggetto con densità uniforme. Abbiamo visto che la spinta di Archimede è applicata al baricentro del volume di fluido spostato mentre il peso (W) è applicato al centro di massa (center of gravity). Baricentro e centro di massa coincideranno solo se i relativi volumi o oggetti o moli sono uguali.

I corpi totalmente immersi, oppure galleggianti, non sempre hanno il centro di massa (C.G.) coincidente con quello di spinta (center of buoyancy) dunque peso e spinta di Archimede sono applicate a due punti distinti. Fin tanto che le due forze si bilanciano e dunque B e G sono allineati lungo la loro linea, si avrà equilibrio idromedario. Anche una perturbazione allora distingue vari casi:

Corpo totalmente sommerso

1. Equilibrio stabile: Il centro massa (G) si trova sotto il punto di spinta (B). In seguito a un'inclinazione, le due forze formano una coppia raddrizzante che conduce il corpo alla posizione iniziale.
2. Equilibrio instabile: G si trova sopra B e, per analoga inclinazione, nasce una coppia di rotazione che allontana sempre di più il corpo dalla sua posizione, finché non si disponga univo in verticale al diritto di B.

Corpo galleggiante

Situazione complessa perché quando l'oggetto ruota, la posizione del centro di spinta, la quale coincide con il baricentro del volume sommerso, varia. Questo dipende dalla forma dell'oggetto e dal volume immerso.

1. Equilibrio stabile
2. Equilibrio instabile

Il centro di massa è il punto dove agisce la forza di gravità su quel corpo. Il baricentro (centroide) è il centro geometrico di un oggetto con densità uniforme. Abbiamo visto che la spinta di Archimede è applicata al baricentro del volume di fluido spostato, mentre il peso (W) è applicato al centro di massa. Baricentro e centro di massa coincidono solo se le densità dell'oggetto e del fluido sono uguali. I corpi totalmente immersi, oppure galleggianti, non sempre hanno il centro di massa coincidente con la spinta (center of buoyancy). Dunque peso e spinta di Archimede sono applicate in due punti distinti, fin quando le due forze si bilanciano e dunque G e B sono allineati lungo la loro linea di azione. In presenza di una perturbazione, allora distinguiamo vari casi:

Corpo totalmente sommerso

1. Equilibrio stabile: (G) si trova sotto il punto di spinta (B). In seguito a un'inclinazione, le due forze formano una coppia raddrizzante che conduce il corpo alla posizione iniziale.
2. Equilibrio instabile: (G) si trova sopra di B. Per analogia, inclinazione masse una coppia di rotazione che aumenta sempre di più il corpo dalla sua posizione. Finché G non si dispone lungo la verticale al di sotto di B.

→ Equilibrio stabile → Equilibrio instabile
Restoring couple → Overturning couple

Corpo galleggiante

Complesso perché quando l'oggetto ruota, la posizione del centro di spinta, la quale coincide con il baricentro del volume sommerso, varia.

1. Equilibrio stabile → inclinazione
2. Equilibrio instabile → dipendono dalla forma dell'oggetto e dal volume immerso

C = B (centro di spinta) C’ = B’
Baricentro del volume immerso
Come cambia la pressione quando a≠0
Quando un fluido si muove come un corpo rigido (no sforzi di taglio) allora posso considerare la legge fondamentale per i fluidi in isoterza (fluidodinamica).

(1)   -∇p - γk = ρa
-∂p/∂x = ρa_x
-∂p/∂y = ρa_y
-∂p/∂z = γ + ρa_z
-∇p/ρ - gk = a

Consideriamo due tipi di moto:

Moto lineare

Considero che traino su di un piano rettilineo.
a_x = 0   -∂p/∂x = 0
-∂p/∂y
-∂p/∂z = γ+ρa_z
E perciò la variazione di pressione diventerà:

(2)   dp = ρa_y dy + ρa_z dz   →   dp = -ρa_y dy - ρa_z dz
Considerando dp=0 sto valutando una linea in cui la pressione è costante, questa linea ha pendenza:
dz/dy = -a_y/(g+a_z)
Quando a_y = 0 ho una linea orizzontale (caso fluidostatico)
Se a_z ≠ 0 si nota che la distribuzione della pressione non è statica ma:
dz/da = -ρ(g+a)
Lo fluido dentro un ascensore, il fluido in contenitore in acqua ferma
a_z = a_t = a_ascensore
m = mg - k v(t)   resistenza alla fondo
v_lim = mg/k   a=0

Rotazione (come campo fisico)

Scrivo l'equazione (1) con le coordinate sferiche
∇p = _{∂p/∂r er} + _{∂p/∂θ eθ} + _∂p/∂z
Esprimo le accelerazioni come: a_r = - rω² a_θ = 0 a_z = 0
Decelerazione centrifuga solamente lungo r, moto di accelerazione, ω = cost (acc. angolare)[w = V/r]
Considero la (1) e ricavo:

➤ La pressione è funzione di r e z
∂p/∂r = - ρa_r = ρrω²
∂p/∂θ = 0
∂p/∂z = - γ

La variazione infinitesima di pressione è:
dp = ρrω²dr - γdz (pressione finita)
Non sono su un piano orizzontale: dz = 0
dp = ρr²dr
Invece, una superficie di minima = cost ➤ dp = 0
d_z= ρω²/γ (in cerchio - ottengo equazione di superfici con ρ = cost)
z = ω²r²/2γ + cost
Sono tutte parabole traslate

Elementary fluid dynamics - Bernoulli equation

Consideriamo fluidi con viscosità nulla, e conduttività nulla = no scambi termici. Assumiamo che un fluido in movimento sia soggetto solo a forza peso e pressione. Formula 2^° legge di Newton: F = m⋅a Forza pressione + forza peso = m⋅a

Sistema di riferimento = 3 dimensioni + temp. tempo, noi ci concentriamo in flusso 2-dimensionale piano (x-z). Il moto di una particella è descritto dalla sua velocità v = ds/dt → il percorso della particella è descritto dalla sua velocità; se il flusso è stazionario = nulla cambia nel tempo ma una particella si trova ad una opportuna posizione successiva, ovvero non ne m dato modo seguirci noi stessi variamo. La velocità è sempre tangente al percorso → le linee tangenti alla velocità sono dette streamline. Si descrive il moto andando a coordinare di queste linee → s = s(t) distanza da punto iniziale. R = R(s) raggio di curvatura locale. La velocità è v = ds/dt nel piano x-z ha due componenti.

a_n = accelerazione normale (curva-data di curvatura) → a_n = v²/R
a_s = accelerazione tangenziale → a_s = dv_t/dt = dv/ds ⋅ ds/dt = dv/ds ⋅ v(dv/ds ⋅ v)

F = m⋅a lungo a streamline
ΣdF_s = a_sd = dv/ds ⋅ ds/dt = dv ⋅ V/ds ⋅ → dV = dy⋅ds⋅dndW_s = -dW sinθ = -δ sinθ dVdp_s = -dp ⋅ ds ⋅ dn dy = -dp ⋅ ds(metapressione forza)

ΣdF_s = dW_s + dF_s = -(sinθ⋅dp/ds)⋅d ds ⋅ ⋅ dV ⋅ - ⋅ a_s- (δ sin α + dδ/ds) = ρ a_s 2^° legge di Newton.

Quando forza peso e forza di pressione massimi si bilanciano → otteniamo accelerazione.ancora sinθ = \(\frac{ds}{d_x}\)\(V \frac{dV}{ds} = \frac{1}{2} d(V^2)/ds\)→ \(dp + L/2 \cdot ρ d(V^2) + gdz = 0\)→ \(\int \frac{dp}{\overline{ρ}} + \frac{L}{2} d(V^2) + gdz = C\) → \(ρ + \frac{1}{2} ρV^2 + gz = folle\) (a)OVA ABBIAMO CONSIDERATO LE FORME TANGENTIADS(1) VEDIAMO LE FORME NORMALI AD S_z

\(dF_{N} = dW_{N} + dF_{T} = -V^2 / R du = -V^2 /R ρd\Psi \)\[dW_{N}\] = -x dp \cosθ \(dF_{N} = -dp\over dn \)-(x\cosθ + dp)\(dn = -V^2 / R ρ dpφ = -x dz - dp = \frac{V^2}{R}\(dz_{dmu}\) → \(dp \over dn\)su piano ordistenza →\(dz_{du_0} = 0 \rightarrow dp = \frac{-V^2}{R}\) sin ora ordinare di resistenza →pdyn \)utetgral:\(\rho + \int \frac{V^2}{R} ρdn = \frac{V^2}{R}\),ez + gz = costantedisabilità: sinistra e ^voce e \(\tilde{parent}\) rt impronte(resistenza)\] pressione alla elevazione conone | |, \(\rho V , |~\(\nu: |/\)cil K + osso = eribia di hansu)\((A ρ+U \int_r \sqrt{-ko}\nu_{}\text{coniche}\] → NEGRAZIONE SCONOSOLI.EQUAZIONE DI BERNOULLI IN TERMINI DI ALTRE QUERE mogelijk per inde con varie:alcun consigio -> utopplasia). stato 4n cessione una zu persure parte diventano il atteur chiuso pubblicoOPRAZIONE V2ZEX quando la malatossia si mo sia in presente un centro).

Stagnation pressure rappresenta la conversione di tutta l'energia cinetica in aumento di pressione → ρ + ρ V² / 2

Esempi di applicazione Bernoulli:

• Getto libero (venturi classico): coincide in elevato di derivato da un serbatoio → traversabile e si riempie acqua colonna da caduta: la velocità aumenta.
• Getto libero (bocchettoni): aumentiamo l'h, la densità aumenterà, dunque in un buco sul lato del contenitore la V di uscita non è uniforme. → coincidono da velocità costante come quella media: dunque l'arrivo fino a metà del foro se il forino è posto ad un piano il massimo del flusso risulta inferiore rispetto all'uscito del buco → effetto vena contrattaper quanto capo la velocità si osti per come il SISTEMATICUS.

Effetto Coanda: equazione di continuità e venturi introducendo la portata in numero m₁ e con portata veniamo a A con 2 → ρ A_V = N₂A₂. i₂ = A₁ i₁ fissare della portata → assumiamo un piano in un tubo orizzontale a = Z₂ → considerando equa. Bernoulli + gener simpnon sia con dimissione disegno perfumo: dove produr, nel chiamlavo a prompt parte 2 incandescenza.