Riassunto esame Termofluidodinamica, Prof. Zanino Roberto, libro consigliato Fundamentals of fluid mechanics, Munson

Cinematica dei fluidi

Campo di velocità

Campo di accelerazione

Derivata totale, teorema di Reynolds

Campo di velocità

Se i parametri di un fluido (press, velocità, acc.) sono dati in funzione delle coordinate spaziali:

Ho una rappresentazione a campo (un campo stazionario associa ad ogni punto dello spazio certi valori fissati con l’espressione delle funzioni).

Questa rappresentazione può essere diversa in momenti diversi, dunque i suoi parametri non dipendono solo da x, y, z ma anche da t: CS - campo di velocità.

V = V (x, y, z, t) = V (x, y, z, t, t) = (x, y, z, t) = V (x, y, z, t) → è mappata la velocità di tutte le particelle.

Modulo della velocità → |V| = √(u² + v² + w²) 4 variabili indietro, 3 identificano 3 componenti di elevato.

La direzione della velocità → θ = arctan (y/x).

Cap 4

Cinematica dei fluidi

• Campo di velocità
• Campo di accelerazione
• Derivata totale, teorema di Reynolds

Campo di velocità

Se i parametri di un fluido (press, velocità, acc.) sono dati in funzione delle coordinate spaziali ho una rappresentazione a campo (un campo assegna ad ogni punto dello spazio certi valori ricavati con l'espressione delle funzioni) questa rappresentazione può essere diversa in momenti diversi, dunque i vari parametri non dipendono solo da x,y,z ma anche da t es- campo di velocità.

V = u (x,y,z,t) i + v (x,y,z,t) j + w (x,y,z,t) k → ↪ la rappresentazione la velocità di tutte le particelle.

Modulo della velocità → |V| = √u² + v² + w².

La direzione della velocità → θ = arctan (v/u).

(4 variabili vettoriali) (identificano 3 componenti di elevato)

• Campo di campo vettoriale differente con imposizione di una velocità V₀.

Descrizione di un flusso con modello euleriano vs modello lagrangiano

V(x_o,y_o,z_o,t_o)

V(x,y,z,t)=V(x_o,y_o,z_o,t_o)

Sistema di riferimento = fisso

Sistema di riferimento = mobile

(Eulerio) V(x,y,z,t)

(Lagrange) X(x_o,y_o,z_o,t_o)

Flussi mono-bi-tridimensionali

V=V(x,y,z,t) → u,v & w≠0 → direzione fisica avanzata.

V=S (x_o,t) → u≠0 & v=0.

2 componenti delle velocità sono zero.

Definizioni e non definizioni

Da) la velocità in un piccolo punto (fissato) non varia nel tempo → δV/δt = 0.

Usi come: fatto il modello per un dato punto.

Usi come le normali → omogenee con metodi di eccellenza.

Uso con valvola di espansione = minore.

Streamlines = linee di flusso

Sono linee tangenti al campo di velocità in ogni momento a un punto fisso.

Normale variabile → sin mandibula inverte → le linee di flusso non possono incrociarsi.

In spatial integrano di espansione definiscono linee tangenti al campo di velocità.

Equazioni che descrivono il flusso di un'area di flusso.

d_y/d_t, d_z/d_t, d_x/d_t, d_u/d_t

x: (x_o)/(t * d/m)

x – V_o(x) >y sinh(t * cosC * m)

V=y, (V_o(t))m

d(y/x)_x dy/x

∫ d_y / y = (-V_o)(x_o)/y

dy – ln _u + cos(x)

ln(y/x) = x

Linee di flusso stazionario: sono tutte le particelle che sono passate da un punto comune.

Parte il presente, alcune particelle passano nello stesso punto (snakes).

Campo di accelerazione

Applico F = m · a per ogni particella dove c'è il campo di accelerazione.

Euler - note: 1D (graphic includes train wheel) full derived from 3D dove c'è la derivata.

Cosa accade x fluido non stazionario?

d( )/dt ≠ 0

Campo di accelerazione: il termine di accelerazione locale sarà ≠ 0 → a = ∂V/∂t.

Convective acceleration è il termine dovuto al gradiente della funzione nello spazio fld(x).

Un fluido che passa in un tubo con arco ≠ costanzo.

Il vettore accelerazione è inclinato con un angolo θ rispetto asse x.

tan θ = a_t/a_x (20)

Coordinate per le linee di flusso

V = Vŝ

a = DV/Dt = a_sŝ + a_nη̂

a_s = ∂V/∂s

a_n = V²/R

Volume di controllo

Il volume nello spazio, entro un campo fluido, è indipendente dal flusso di fluido.

Sistema o insieme di materia che rimane sopra il volume cui essi sorvolano e interagiscono appieno è come seguito questo motore.

Teorema di Reynolds, caso specifico

d( ßS)/dt = δß/δt + ß₀in ßin - ß_out ßout

B = ρ2A2V2b2, ρ1A1V1b1

Estensione della conservazione di masse possono essere espressi.

Es B,m b η, solo sezione di uscita.

Dm_sys = δ(∫_{ρ dv}) + ρ₂A₂V₂

Dt ∂t δ∫ ρ dv = - ρ₂A₂V₂

δt

Teorema di Reynolds, caso generale

Amount of property B carried across the area element δA in the interval δt.

δ(B = b ρ δV = b ρ Vδtcosθ δ Aδ V δ t

δt = δt

δL = Vδt

Considero variazione DB.

∫_CS ρb V: n̂ dA - ( ∫_CS ρb V: n̂ dA ) = ∫_CS ρb V: n̂ dA

∫_CSout ∫_CSin

n̂ è esterno nulla superficie di controllo.

∫_CV ρb dV

DB_sys = δB + ∫_CS ρbV:n̂dA

Dt ∂t (3)

B_CV = ∫_CV ρb dV

È la versione integrale della derivata totale.

DB_sys δ ∫_CS

Dt ∂t

Più variazione nel tempo di una quantità presente all'interno del sistema (massa, *,qu, imposto, energia).

Variazione di B, volume di controllo nel tempo.

Più flusso netto del parâmetro B attraverso tutta la superficie di controllo.

Caso stazionario

DB_sys^{= ∫ ρbV⋅ẑ dA}_Dt CS(inflow + outflow)surface

Caso non stazionario

B all'interno del volume di controllo può variare nel tempo.

Volume di controllo mobile

V = W₀ + CV velocità del volume di controllo

DB_sys = ∫ ^{ρb dV} + ∫ ^{ρb W ⋅̉n̂ dA}_Dt ∂t CV CS

Scelta cv in cui si vuole determinare il valore di un parametro del flusso in un certo punto.

Solitamente è meglio non portare punti sulla cs cu se possibili descerne l'area velocità del passo così V⋅ẑ⋅ ̉cosθ = V

Analisi integrale dei campi di moto

• Conservazione della massa
• Conservazione della quantità di moto

Equazione di continuità

La massa di un sistema non varia nel tempo.

\[ \frac{Dm_{sys}}{Dt} = 0 \quad \left\{ m_{sys} = \int_{\text{sys}} \rho dV \right\} \tag{1} \] \left| \frac{dB}{dt} = -\sum m = \dot{m} \right| \quad \left. \frac{\delta}{\delta t} \right|_{\text{massa}} \] \]

Applico teorema Reynolds: B = m, b = 1.

\[ \frac{D}{Dt} \int_{\text{sys}} \rho dV = \frac{\delta}{\delta t} \int_{\text{cv}} \rho dV + \int_{\text{cs}} \rho \vec{V} \cdot \hat{n} dA \] \]

Considero conservazione massa (1).

\[ \frac{\partial}{\partial t} \int_{\text{cv}} \rho dV + \int_{\text{cs}} \rho \vec{V} \cdot \hat{n} dA = 0 \] Equazione di continuità.

Per volume di controllo fisso e indeformabile.

\[ \int_{\text{cs}} \rho \vec{V} \cdot \hat{n} dA = \sum \dot{m}_{out} - \sum \dot{m}_{in} \]

Se flusso stazionario.

\[ \frac{\frac{\delta}{\delta t}}{dt} \int_{\text{cv}} \rho dV = 0 \implies \sum \dot{m}_{in} = \sum \dot{m}_{out} \quad \forall \text{flusso incomprimibile} \] \quad \dot{m}_{in/flux} \]

Portata in massa.

\[ \dot{m} = \rho Q = \rho A \vec{V} \quad \dot{m} = \int_{A} \rho \vec{V} \cdot \hat{n} dA \]

\vec{V} \Longrightarrow uso il valore uscente dalla componente normale della velocità alla sezione.

\[ \bar{V} = \frac{\int_{A} \rho \vec{V} \cdot \hat{n} dA}{\rho A} \]

Conservazione della massa

In generale l'equazione del considerando dato B=m, b=1.

DM_sys/Dt = 0{d/Dt ∫_sys ρ dV = δ/δt ∫_cv ρ dV + [ Σṁ_out - Σṁ_in ]}

La quale la applico nella risoluzione tengo ancora conto della conservazione della massa (es. 20).

{δ/δt ∫_cv ρ dV + [ Σṁ_out - Σṁ_in ] = 0}

NB: Il volume di controllo può anche essere scomposto in + volumi ad esempio se in esso ci sono 2 fluidi e con ∓p.

Volume di controllo in movimento, indeformabile

V = W₁ + V_cv

Assuma velocità positiva.

DM_sys/Dt = δ/δt ∫_cv ρ dV + ∫_cs ρ W: ṅ dA

{δ/δt ∫_cv ρ dV + ∫_cs ρ W: ṅ dA = 0}

Volume di controllo deformabile

Scegliere un volume di controllo deformabile dove vale semplice i covdi (es: siringa.)

Cv deformabile: porta ad un cambiamento in tempo di cv e un movimento e velocità della sp. di controllo cs.

ΔM_sys = (δ/δt) ∫_cv ρ dV + ∫_cs ρ W·ň dA = 0

V₃ = W₁ + V_cs

2a legge di Newton - quantità di moto

(δ/δt) ∫_sys V_p dV = ∑F_sys

F = dV_m/dt = dρ/dt

(δ/δt) ∫_cv V_p dV + ∫_cs V_p V·ň dA = ∑F

V or S clll flno e stazionario dov entreno tutte le derivate x, y, z, ...

(Considero dunque V = (u, v, w))

Esempio

Trovare la forza di ancoraggio necessaria a tenere fermo il vano, trascurando effetti di questo e velocità del fluido...

Passo jappuniano

\( \frac{\delta}{\delta t} \int_{\mathcal{C}_v} \rho \, dV + \int_{\mathcal{e}} \rho \, \mathbf{V} \cdot \mathbf{n} \, dA = \sum \mathbf{F} \)

\( \mathbf{V} = u \, \mathbf{i} + w \, \mathbf{k} \)

Risultante:

• \(\mathbf{u}_c \rho A_2 V_2 - \mathbf{u}_c \rho A_1 V_1 = F_{A_x} \)
• \(\mathbf{u}_A \rho A_2 V_2 - \mathbf{u}_A \rho A_1 V_1 = F_{A_z} \)

Trascurando peso...

\( V_{in} \cos \beta \rho A_2 V_2 - \rho A_2 V_1 = F_{A_x} \)

\( V_{in} \sin \beta \rho A_1 V_1 - 0 = F_{A_z} \)

Indicate le punire a destra sono = 0

\( V_1 = \sqrt{V_x^2 \cos^2 \theta + V_z^2 \sin^2 \theta} = V_A \)

Norma dinamica cost

Esempio

Steady Flow

\( \frac{\delta}{\delta t} \int_{\mathcal{C}_v} \rho \, dV + \int_{\mathcal{e}} w \rho \mathbf{V} \cdot \mathbf{n} \, dA = F_A - W_{in} - p_A A_1 W_{out} - p_{out} A_2 \)

CS1 + CS2

L'azione della pressione atmosferica è unestro, ma l'azione della pressione sull'area \( A_1 \) e \( A_2 \) non si annuncia.

Pressione sulla superficie dell'acqua non coperta da pressione \( p_{out} = 0 \)

Pressione e stessa in alto e base basso \( p_B = p_A \)

\( F_{w} = \Delta \mathbf{F} / \Delta \mathbf{h} \times \Delta A \)

Es ➔ Forze negli di una diga chiusa e aperta

• \( \frac{\delta}{\delta t} \int_{\mathcal{C}_s} \rho \, dA = \frac{1}{2} \rho b^2 - R_X \)
• \( \sum \rho \mathbf{V} \mathbf{n} \, dA + \frac{1}{2} \rho b (b^2 - R_x b) = F_z \)

Generata sull'applicazione delle leggi sui cossurra, get ed noto □ p218

Conservazione massa pt.

Nota per un volume di controllo incomprimibile in e out con velocità costanti ed attraversato da deflussi stazionari.

∫_cs ρ W ˙ n dA = ΣF_cv

ρ=cost, x, y, z; Wx, Wy, Wz; = ˙m, ... x, y, z, t

1^a legge della termodinamica - equazione dell'energia

Time rate of increase of the total stored energy of the system = net time rate of energy addition by heat transfer into the system + net time rate of energy addition by work transfer into the system.

D/Dt ∫_scs ρ e dV = (Σ Q˙ in - Σ Q˙ out) + (Σ W˙ in - Σ W˙ out - Σ W˙ pot)_sys (1) ∫ (2 pi re = energia totale = e _int + v²/2 + gz

Gen_int, Gen_cinet, Gen_poten

Q˙ net W˙ net

d/dt w = t · w int + ext

Applico teorema di Reynolds: b = e.

D/Dt ∫_scs e ρ dV + ∫_cv e ρ dV = (Σ Q˙ in - Σ Q˙ out) + (Σ W˙ in - Σ W˙ out - Σ W˙ pot)_sys (1) ∫ (2 pi r

∫_cv e ρ dV + ∫_cs e ρ V n dA = (Q˙ net - W˙ net)_cv (3)

Potevano lavoro datano agli sforzi anomali.

W˙ ^{lavoro normale snor} (4); σ=-ρ

W˙ = ∫ ρ v n dA - ∫ ρ V n dA (4), (4) D/Dt _se il fluido esce/entra dal cv

Lavoro dovuto agli sforzi tangenziali (tipo shear).

dF = τ d A

dḆ = dF ⋅ Vbas stress tang. stress

Equazione dell'energia

δ∫_CV (e_p + V²/2 + g z) ρ dV + ∫_CS (ĥ + V²/2 + gz + P/ρ) ρ V ⋅ n̂ dA

δt= + net in SNAP

Le stress tang.* = 0 DOPPUSSI taz.* ρ = 0 solo se, V. fisse stato oss a fluido attraverso la C.S

Se le proprietà sono uniformi.

(ĥ_out + p_out/ρ + V²_out/2 + g z_out)ṁ_out - (ĥ_in + p_in/ρ + V²_in/2 + g z_in)ṁ_in = equazione dell’energia in termini di energia.

ṁ [ĥ + V²/2] + Q̇Ɛ (z_out-z_in) = q̇_net + Ḇ̇_tang net in

Conservazione potenza

V = Q/A, ṁ = ρQ, h = ĥ + P/ρ

ρ g 2D²/42η Q_zerechion

Sono vita del punti di vita e del sono Θ se erano nel Cv

Confronto tra equazioni dell'energia e Bernoulli

ṁ_out - ṁ_in - q_net = 0 se il flusso e stazionario incomprimabile e non sono attivi h + P/ _ρρ g 2

Energia disponibile utile - q_net = perdite