Riassunto esame Analisi matematica, Prof. Ferrari Fausto, libro consigliato Lezioni di analisi matematica, Daniele Ritelli

Analisi: fattoriali, successioni, serie, derivate e integrali

Fattoriali e semifattoriale

Semifattoriale: m!! = m(m-2)!! se m ≥ 2.

Proprietà

• m! = m!! (m-1)!!
• (2m)!! = 2^m m!
• (2m+1)!! = (2m+1)!! = 2^m m!

Coefficienti binomiali

^mC_k = ^mC_m-k

Proprietà

• ^mC_k = ^m-1C_k + ^m-1C_k-1

Principio di induzione

Se S ⊆ N t.c. -> m+1 ∈ S => S = N m ∈ S

Limiti notevoli

lim (n -> 0) sin(1/n) = 1

lim (m -> 0) cos((1/m)) = 0

lim (x -> 0) (1+x)^x = e^x

lim (x -> 0) sx/x = 1

lim (x -> 0) (1+x)^1/x = e^(1/x)

lim n²(1-cos(1/n)) = 1/2

Biiettività

Successioni

Sia (a_n) una successione strettamente positiva e limitata, ossia:

esist. α, β > 0 t.c. α ≤ a_n ≤ β     ∀n ∈ ℕ

allora   &lim;_{m → ∞} (a^1/m_m) = 1

Sia (a_n)_{m ∈ ℕ} una successione t.c.   ∃ lim   a_n = a ∈ ℝ⁺

allora   lim   a^1/m_nm = 1

∀   lim   m   log_e (1 + t_m / m) = log_e (e) = ¹/_en

Diamo

Confronto tra successioni positivamente divergenti: m^b < tⁿ < m^km con b > 0 e   ∃ > 1

Regole di Cesaro - Stolz

• Se (a_n) e (b_n) sono infinitesime e (b_n) è crescente o decrescente e se ∃ reale o infinito   lim   a_m - a_n − e ∈ ℝ ∪ {±∞}
• Allora   ∃ lim   a_n
• Se (a_n) e (b_n) sono successioni con (b_n) differente a st 1 la serie diverge
• Se l = 1 criterio insignificante, non posso concludere nulla

Criterio della radice

Se _n=1^∞ a_n e a termini a_n > 0 _n∈N ed ∃ lim _n→+∞ √_n √a_n = e

• Se 0 ≤ e < 1 serie converge
• Se e > 1 serie diverge
• Se e = 1 criterio inefficace (non si può concludere)

Criterio di Raabe

Data _n=1^∞ a_n, a_n > 0 e se esiste lim _n→+∞ n(a_n / a_n+1 - 1) = l si ha:

• Se l < 1 la serie diverge
• Se l > 1 la serie converge

NB: criteri del rapporto e della radice sono inefficaci se l/e è uguale a 1.

Serie geometrica

∑ _n=1^+∞ r ^m−1/(1 − r) converge se |x| < 1 <=> −1 < x < 1

Diverge se |x| > 1

∑ _n=0^+∞ m⋅r ⁿ = (1 − rⁿ⁺¹)/(1 − r) converge se |x| < 1 <=> −1 < x < 1

Diverge se |x| > 1

Oscilla se r = 1

Serie di Neugebi

∑ _m=1^+∞ 1/m − 1/(m+x) = ∑ _m=1^+∞ m+1−m/m(m+x+1) = ∑ _m=1^+∞ (1/m − 1/(m+x)) = 1=> CONVERGE A 1

E' un esempio di serie telescopica.

∑ _m=1^+∞ (au_m+1 - au_m) equivale ∑ _m=1^+∞ (au_m+1 - au_m)

Criterio del confronto

Corollario 9.9.

Se ∑ _n=1^∞ b_n è convergente, allora ∑ _n=1^∞ a_n è convergente.

Se ∑ _n=1^∞ a_n è positivamente divergente, allora ∑ _n=1^∞ b_n è positivamente divergente.

Criterio del confronto asintotico

Corollario 9.10.

Se 0 ≤ lim _n→∞ (a_n/b_n) = ℓ allora ∑ _n=1^∞ a_n è convergente se e solo se ∑ _n=1^∞ b_n è convergente

Se ∑ _n=1^∞ a_n è positivamente divergente se e solo se ∑ _n=1^∞ b_n è positivamente divergente

Criterio di Leibniz

Se la successione a termini positivi (a_n)_{n ∈ N} è decrescente e infinitesima (a_n → 0) allora &Sum;^∞_n=1 (-1)^n-1a_n è convergente

Serie a termini di segno alterno (negl'ipoteti a_n ∈ f(N ∈ N)

Serie armonica generalizzata

&Sum;^∞_n=1 1/n^p ∈ R, converge se α > 1

&rightarrow; &Sum;^∞_n=2 1/((n(₁₀(n))^α) = α → α > 1 converge

→ α ≤ 1 diverge

Derivate

Teorema

(e^u(x) )' = u'(x) se x > 0

{ e^u(x) se x > 0

{0 se x = 0

D = ] 0; +∞ ] esendo (x) > 0 x ≠ 0

(e^u(g(x)))' = g'(x) f x ∈ ID g con f(g(x)) ≠ 0

f(g(x))g^(x)'e^{g(x) lu f(x)}

→ [g(x)]^g(x)= e g(x) [g{x}]x → e^{g(x)lu (f(x))}

()' = (e ^lu())'^{(-e- ())'} = - _n(x) +

Teorema della derivata della funzione inversa

Se f: A → [a,b] → R invertibile nel suo dominio di definizione e xo ∈ [o; b] in cui f è derivabile con f'(xo) ≠ o allora (f⁻¹)' (yo) = 1 /f'(xo) con f(xo) = yo

Equazione della tangente

y - f(xo) = f'(xo)(x - xo)

Equazione della normale

y - f(xo) = -1 /f'(xo) (x - xo)

Funzioni elementari

• La costante è una funzione costante: D k = f'(x) = 0
• Potenza: D (xⁿ) = nxⁿ⁻¹
• sinx = cosx
• cosx = -sinx
• tanx = 1/cos²x = 1 + tan²x
• cotgx = -1/sen²x = -1 - cotg²x
• logax = 1/x ln a
• lne x = 1/x ln e
• e^nx = n*e^nx = ln x
• lne = loga e

Regole di derivazione

• Prodotto di una costante e una funzione: D k * f(x) = k * f'(x)
• Somma di due o più funzioni: D (f(x) + g(x) + h(x)) = f'(x) ± g'(x) ± h'(x)
• Prodotto di due funzioni: D (f(x) * g(x)) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)
• Rapporto di due funzioni: D (f(x)/g(x)) = [f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)] / [g(x)²]
• Funzione composta: D[f(x)]ⁿ = f'(x)g'(x)
• Funzione elevata ad una funzione: D[f(x)ⁿ(x)] = f¹ [x(x)]ⁿ ln[f(x)] + g(x)⁻ F[x] F(x)

Derivate delle funzioni iperboliche e loro inverse

• d/dx [sinh(x)] = cosh(x) = d/dx [arsinh(x)]
• d/dx [cosh(x)] = sinh(x) = d/dx [arcosh(x)]
• d/dx [tanh(x)] = sech²(x) = d/dx [artan(x)]
• d/dx [sech(x)] = -sech(x)tanh(x) d/dx [arsech(x)]
• d/dx [csch(x)] = -csch(x)coth(x) d/dx [arcsch(x)]

Funzioni iperboliche

• Funzione seno iperbolico: sinh x = e^x - e^-x / 2 = 1 - e^-2x
• Funzione coseno iperbolico: cosh x = e^2x - e^-2x / 2
• Funzione tangente iperbolica: tanh x = sinh x / cosh x
• Funzione cotangente iperbolica: coth x = cosh x / sinh x
• Funzione secante iperbolica: sech x = 1 / cosh x
• Funzione cosecante iperbolica: csch x = 1 / sinh x
• arsinh x = ln (x + √(x² + 1))
• arcosh x = ln (x + √(x² - 1))
• artanh x = ln (1 - x² / 1 - x), 1/2 ln (1 + x / 1 - x)
• arcoth x = ln (√(x² - 1) / x - 1)
• arsech x = ln ((1 + √1 - x²) / x)
• arcsch x = ln ((1 ± √1 + x²) / x)

Integrali

Proprietà delle funzioni integrabili

i) Se _a ^b e _α ^β, allora:

∫_a^b (f(x) + g(x)) dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^b g(x) dx

∫_a^b k f(x) dx = k ∫_a^b f(x) dx

ii) Se _a b allora ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx

iv) Se f(x) ≤ g(x), allora:

v) Se f(x) = k è costante, allora:

vi) Vale la disuguaglianza:

∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b (f(x) + |g(x)|) dx

∫_a^b f(x) dx = ∫_a^b g(x) dx

0 ∫_b^a f(x) dx se _{a b}

0 se _a = _b

∫ ^dx 1

∫_x²+2px+q = √¹ /_(q-p²)

∫₁ (x²+a²) dx - 1 / a₁ arctg (x/a) + c

La media integrale

µ =1 / (b-a) ∫_a^b f(x) dx

1° teorema fondamentale del calcolo integrale

d/dx ∫_a(u)^b(u) f(t) dt = f(x)

F_x0 (x) = ∫_x0^g(x) f(t) dt → F'_x0 (x) = g(f(x)) g'(x)

2° teorema fondamentale del calcolo integrale

Data f:[a,b] → ℝ derivabile e con derivata f'(x)

f(b) - f(a) = ∫_a^b f'(x) dx

Il Newton Leibniz

f:[a,b] → ℝ continua; F:[a,b] → ℝ primitive di f

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Integrali fondamentali (indefiniti)

∫ dx = x + c

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/n+1 + c, n ≠ -1

∫ x^-1 dx = ∫ 1/x dx = ln |x| + c (n = -1)

∫ 1/x² + 1 dx = arc tan x + c

∫ 1/√(x² - 1) dx = arc sin x + c

∫ e^x dx = e^x + c

∫ e^-x dx = -e^-x + c

∫ 1/x dx = ln |x| + c

∫ cos x dx = sin x + c

∫ sin x dx = -cos x + c

Integrali fondamentali con funzioni composte

d [f(x)] = f'(x) dx

∫ [f(x)]ⁿ d[f(x)] = ∫ [f(x)]ⁿ f'(x) dx = [f(x)]ⁿ⁺¹/n+1 + c

∫ 1/f(x) d[f(x)] = ln |f(x)| + c

∫ 1/[g(x)]^1/2 d[g(x)] = arc sin g(x) + c

∫ e^f(x) d[f(x)] = e^f(x) + c

∫ f'(x)/√4 - [f(x)]² dx = arc sin f(x) + c

∫ cos [f(x)] d[f(x)] = sin f(x) + c

∫ sin [f(x)] d[f(x)] = -cos f(x) + c

Integrali vari

• ∫ 1/cos² x dx = ∫ (1 + tan² x) dx = tan x + c
• ∫ 1/sin² x dx = ∫ (1 + cotan² x) dx = -cotan x + c
• ∫ cos² x dx = 1/2 (x + sin x cos x) + c
• ∫ sin² x dx = 1/2 (x - sin x cos x) + c