Riassunto esame Analisi matematica I, Prof. Facchinei Francisco, libro consigliato Analisi Matematica I, Bramanti, Pagani, Salsa

Analisi matematica

Orario corso e riferimenti

Orario corso: lun-ven 10:00-12:00.
Libro: Analisi Matematica I - Zanichelli.
Professore: Francisco Facchinei (da lunedì a giovedì), email: francisco.facchinei@uniroma1.it (scrivi "studente" come oggetto).
Professore: Valerio Dose (solo venerdì), email: valerio.dose@uniroma1.it.
Tutor: Federico D'Onofrio - orario: tutti i mercoledì dalle 12:00 alle 14:00.
Eventuale ricevimento:
Facchinei - martedì 15:30-17:30, Stanza A111, Via Ariosto 25 su appuntamento.
Dose - martedì 14:30-15:30, Stanza A120, Via Ariosto 25 su appuntamento.

Tipi di dimostrazioni

Dimostrazione diretta

Esempio: Formula di Gauss
S_m = 1 + 2 + ... + a_{ni = 1} a_iΔ = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂ = ^m(m-1)/₂ | se n fosse 100.

Dimostrazione per contraddizione

Esempio: √2 irrazionale
√2 ≠ ^m/_n — supponiamo che invece faccia parte di Q (numeri razionali)
∃ k ∈ N t.c. ∀k ∈ N ∖ {k ≥ ∈ N₀} √2 = ^m/_n per assurdo suppongo sia razionale ∃ 1> m, n interi tali che 1/2 = m²/n²
√2n = m (e.c.)
Almeno un numero tra m ed n è dispari perché se fossero stati entrambi pari si sarebbero potuti semplificare per due.

Dimostrazione per induzione

Sia P una proprietà dei numeri naturali; se valgono queste due condizioni...
Vale per n = 0 (passo base)
P vale per n allora vale per n+1 (passo induttivo)

Esempio: La somma dei n primi numeri naturali vale ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂
Passo base: n = 1
1 = ¹⁽¹⁺¹⁾/₂ = 1 ok
Passo induttivo — suppongo che valga per n:
1 + 2 + ... + n = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂ | 1 + 2 + ... + n+1 = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂ + n+1 = 1/2 ^(n+1)(n+2) ok

Altro esempio

∑ ⁱ/_i=1 = n (1+1) (2n+1)
Passo base
Provo con n=1
^{1 ∑ i2 = 1 (1 (1+1) (2 (1) + 1)/6) = 1 ok}
Passo induttivo
n⁺¹∑ ⁱ/_i=1 = ^(n+1)(n+2)_(2n+3) = ^{2 i}/_{i = 1} ⁽ⁿ⁺¹⁾ = ^{1/6(n+1)(n+2)(2n+3)} + n+1₂ + (1+1)² = ^n(n+1)(2n+1)= ₆[(2n+3)(n+2)]

Campo

Si definisce campo una struttura algebrica composta da un insieme non vuoto e da due operazioni interne che sono somma e prodotto.
Un campo si definisce totalmente ordinato se sono verificate le proprietà seguenti per ogni a, b, c nel campo:

1. a ≤ b e b ≤ c allora a ≤ c (Proprietà transitiva)
2. a ≤ b e b ≤ a allora a=b (Proprietà antisimmetrica)
3. a ≤ a (Proprietà riflessiva)

L'insieme dei numeri razionali Q e quello dei numeri reali R, con le operazioni di addizione e moltiplicazione, sono campi totalmente ordinati.

Concetto di estremi

Sia X un qualunque insieme totalmente ordinato (p. es. R). Sia E un insieme contenuto in X. Tale insieme si dice limitato superiormente se esiste un numero M per cui risulti x ≤ M per ogni elemento x ∈ E; limitato inferiormente se esiste un numero m per cui risulti m ≤ x per ogni elemento x ∈ E; limitato se valgono entrambe le condizioni, ossia esistono due numeri, m ed M, tali che: m ≤ x ≤ M per ogni x ∈ E.

Un elemento x si dice massimo per E se:
x ∈ E
y ≤ x ∀ y ∈ E

Un elemento x si dice minimo per E se:
x ∈ E
x ≤ y ∀ y ∈ E

Talvolta, pur essendo l’insieme E limitato, non possiede massimi o minimi. Introdiciamo quindi il concetto di estremo superiore e di estremo inferiore:

Sup A = ^{A | ∀x ∈ A, x ≤ A ∧ ∀a ∈ X, (∀x ∈ A, x ≤ a) → A ≤ a}
Inf A = _{A | ∀x ∈ A, A ≤ x ∧ ∀a ∈ X, (∀x ∈ A, a ≤ x) → a ≤ A}

Sia E ⊂ X. Un numero K ∈ X (non necessariamente ∈ E) si dice un maggiorante (minorante) di E se: K ≥ x (K ≤ x) ∀ x ∈ E.