Riassunto esame Analisi I, Prof. Cianciaruso Filomena, libro consigliato Analisi matematica 1, Marcellini, Sbordone

Mateo Mammoli�

Corso di Laurea in Informa�ca – Università della Calabria

DISPENSA DI ANALISI MATEMATICA 1

1. Azzeramento

1.1. Trigonometria r, grado

Supponendo di avere una circonferenza di raggio divisa in 360 par� uguali. Si definisce la tre

radiante

centosessantesima parte di un angolo giro. Si definisce la lunghezza dell’angolo che si forma

percorrendo un arco di circonferenza pari al raggio.

cerchio trigonometrico

Fissato un sistema di assi cartesiani, si definisce il cerchio avente raggio

unitario e come centro l’origine degli assi. Per convenzione, muovendosi lungo la circonferenza in

posi�va.

senso an�orario, la misura degli angoli è Muovendosi in senso orario, la misura diventa

nega�va. P OP:

Fissato un punto ed il segmento

t

P seno l’ordinata P.

si definisce dell’angolo α,

• coseno l’ascissa P.

si definisce, rispe�vamente, dell’angolo α,

•

sin

α tangente, t.

si definisce l’ordinata P che interseca la reta tangente

•

O Q

cos P

Generalizzando, possiamo dire che le coordinate del punto sono le

P (cosα, senα).

seguen� primo quadrante, terzo

Seno e coseno sono entrambi posi�vi nel mentre sono entrambi nega�vi nel

quadrante. secondo quadrante,

Nel il coseno assume valori nega�vi, mentre il seno è posi�vo. Al

quarto quadrante,

contrario, nel il seno è nega�vo mentre il coseno assume valori posi�vi. Seno e

limitate

coseno sono due quan�tà nell’intervallo [-1, 1], mentre la tangente può assumere

qualunque valore. OPQ, fondamentale

Dal teorema di Pitagora applicato al triangolo riusciamo a ricavare l’iden�tà

della trigonometria:

+ = ∀ℝ

3 45°

3 1 1

135° 4

= =

4

4 4

√2 √2

3 1 1

= − =

4 4

√2 √2

3 = 1

= −1 4

4 7 1

5 1 = −

= − 4

4 √2

√2 7 1

5 1 =

= − 4

4 √2

√2 5 7 7

5 215° 315° = −1

= 1 4 4 4

4 Mateo Mammoli�

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2 √3

= 2 √3

3 2 =

3

2 1 3 3 2

= − 1

3 2 =

3 2

5 1

= = √3

6 2 6 3

5

5 √3 6

= − 1

6 2 =

6 2

√3

=

6 2

1

=

6 √3

11

6

7

6 5

4

3

3

Qui studiamo gli angoli mul�pli di 30, dove i valori di seno, coseno e tangente si alternano fra loro

poiché le distanze dei segmen� sono sempre le stesse.

FORMULE DI ADDIZIONE +

sin( + ) = sin + cos( + ) = sin − ( + ) = 1 −

−

sin( − ) = sin − cos( − ) = sin + ( − ) = 1 +

FORMULE DI DUPLICAZIONE 2

2 2

sin (2) = 2sinx cos(2) = − tg (2) = 2

1 − tg

FORMULE DI BISEZIONE 1 −

1 − 1 + �

� � tg = ±

= ± cos = ± 2 1 +

2 2 2 2

FORMULE PARAMETRICHE CON t =

2 2

1 −

= =

2

1 + 2

1 +

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1.2. Disequazioni DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

Dal dominio di definizione della funzione radice quadrata, le disequazioni irrazionali si svolgono:

() ≥ 0 () ≥ 0

() ≥ 0

�()

() ≥ = = () ≥ 0

� � () ≥ ()

2 2

�()

≥

()

() ≥ 0 () ≥ 0

() < 0 () < 0

() ≥ 0

�() = � = � () ≥ 0

() ≤ � �

() ≥ 0 () ≥ 0 () ≥ ()

2 2

�()

() ≥

DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO

() ≥ −

|()| ≤ > 0 = � () ≤

.

|()| ≥ > 0 = () ≤ − () ≥

() ≤ () ≥ 0

|()| ≤ () = �

−() ≤ () < 0

.

1.3. Scomposizione di polinomi

SCOMPOSIZIONE TIPOLOGIA COME SI PRESENTA COME SI SCOMPONE

MEDIANTE SOMMA PER DIFFERENZA 2 2 ( + )( − )

−

PRODOTTI 2 2 2

QUADRATO DI BINOMIO (

± 2 + ± )

NOTEVOLI CUBO DI BINOMIO 3 2 2 2 3

(

± 2 ± 2 + ± )

2 2 2 2

QUADRATO DI TRINOMIO (

+ + ± 2 ± 2 ± 2 ± ± )

RACCOGLIMENTO TOTALE + + ( + + )

PARZIALE + + + ( + ) + ( + )

SOMMA/DIFFERENZA TRA CUBI 3 3 2 2

+ ( + )( − + )

3 3 2 2

− ( − )( + + )

TRINOMIO NOTEVOLE 2 ( + )( + )

± ( + ) ± ()

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2. Assiomi degli insiemi numerici

2.1. somma algebrica e prodoto

Per ogni insieme numerico è possibile eseguire le operazioni di

verificandone la compa�bilità con le proprietà insiemis�che. Rispeto alla somma, abbiamo le

seguen� proprietà:

Proprietà commuta�va: ed effe�vamente risulta che n + m = m + n

• Proprietà associa�va: ed è vero che n + (m + k) = (n + m) + k

• Esistenza dell’elemento neutro: e

cioè, l’elemento tale che sommato ad un valore generico

• a a.

otengo sempre [a + e = a per ogni a A]. Questo elemento è lo 0.

∈

Esistenza dell’elemento opposto: e a

cioè, l’elemento tale che sommato ad valore generico

• -a.

otengo 0. [a + e = 0 per ogni a, e A]. Questo elemento è l’opposto di a,

∈ N -a,

No�amo che l’insieme dei numeri naturali non con�ene quindi non rispeta tu� gli assiomi.

chiuso alla somma

L’insieme N viene definito perché eseguendo la somma di due numeri n ed m

(con n ed m N), il risultato rimarrà sempre in N.

∈ numeri interi Z.

Esiste però un altro insieme in cui -a esiste ed è l’insieme dei Essendo che Z rispeta

insieme rispeto alla somma insieme commuta�vo (abeliano).

tute le proprietà citate, è deto o

Rela�vamente al prodoto si verifica adesso la compa�bilità di N e Z con:

Proprietà commuta�va: ed effe�vamente risulta che a•b = b•a

• Proprietà associa�va: ed è vero che a • (b • c) = (a • b) • c

• Esistenza dell’elemento neutro: e

cioè l’elemento tale che mol�plicato ad un valore generico

• a a.

otengo sempre [ a • e = e • a = a per ogni a A ]. Questo elemento è l’1.

∈

Esistenza dell’elemento opposto: a

cioè l’elemento tale che mol�plicato ad un valore

-1

•

a = 1 per ogni a A, a ≠ 0 ]. Questo elemento è che non esiste

generico otengo 1. [ a • a -1 ∈

in N.

Il numero inverso o opposto non esiste né in N, né in Z ma è presente nell’insieme dei numeri

razionali Q = { m/n con m, n Z, n ≠ 0 }. Q rispetando le proprietà rela�vamente al prodoto e alla

∈

insieme rispeto al prodoto e alla somma, campo.

somma, è deto cioè

frazione generatrice,

Ad ogni numero dell’insieme Q possiamo associare una cioè quelle frazioni che

ci permetono di scriverlo sotoforma di frazione. Non tu� i numeri sono riscrivibili sotoforma di

numeri irrazionali.

frazione. Tali numeri sono de� L’insieme Q ha due problema�che cioè non vale

l’assioma di completezza e non è possibile associare una frazione generatrice a √.

Esempi di conseguenza degli assiomi rela�vi alle operazioni dei numeri reali.

Dimostrazione che se a+b = a+c (ipotesi) allora b=c (tesi)

b b+0 a+b+0 = a + c.

Sfrutando l’esistenza dell’elemento neutro riscriviamo come otenendo

0 a+(-a) b+a+(-a) = a

Sfrutando l’esistenza dell’elemento opposto riscriviamo lo come otenendo

+ c. a+b+(-a) = a + c. a+b

Per la proprietà commuta�va oteniamo Sfrutando l’ipotesi è uguale ad

a+c a+c+(-a) a + b. a+(-a) 0.

otenendo = Sfrutando l’elemento neutro sos�tuiamo con lo

c+0 0 + b c = b

Quindi = cioè

Dimostrazione che a ≠ 0 se ab = ac (ipotesi) allora b=c (tesi)

∀ Mateo Mammoli�

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b b•1 a•b•1 = ac.

Sfrutando l’esistenza dell’elemento neutro riscriviamo come otenendo

a b•a•a

Sfrutando l’esistenza dell’elemento opposto riscriviamo l’1 come oppure otenendo

-1 -1

= ac. a•b•a = ac. a•b

Per la proprietà commuta�va oteniamo Sfrutando l’ipotesi è uguale ad

-1

a•c a•c•a a•b. a•a

otenendo = Sfrutando l’elemento neutro sos�tuiamo con l’1.

-1 1

c•1= 1•b c = b.

Quindi cioè

2.2 Assioma di completezza

Siano A e B due sotoinsiemi di R non vuo� tali che qualsiasi elemento di A sia minore o uguale di

a≤b a A, b B, c R a≤c≤b

ogni elemento di B, ossia allora esiste almeno un elemento tale che

∀ ∈ ∈ ∈

a A, b B. a b, elemento separatore

Essendo che c sta in mezzo ad e c si dice che non è unico.

∀ ∈ ∈

Esempi: A = ]−∞, 0] B = [0,

1) , +∞[

A e B soddisfano la condizione tale che i valori di A siano ≤ a quelli di B.

c = {0}, c A B

Allora ∈ ∩

A = ]−∞, 0[ B = [0,

2) , +∞[

A e B soddisfano la condizione tale che i valori di A siano ≤ a quelli di B.

c = {0}, c B

Allora ∈

A = ]−∞, 0], B = [1, 2]

3) A e B soddisfano la condizione tale che i valori di A siano ≤ a quelli di B.

c = [0,1], c A B

Allora ∈ ∩

A = ]−∞, 0[, B = ]1, 2]

4) A e B soddisfano la condizione tale che i valori di A siano ≤ a quelli di B.

c = ]0,1[

Allora

L’assioma di completezza non vale in Q, cioè se sos�tuisco la parola reale con razionale, in generale

l’assioma non vale.

Controesempio:

Siano da� gli insiemi A = { x∈Q : x≤√ } e B = { x∈Q : x≥√ }. I due insiemi non sono vuo� ed ogni

elemento di A è più piccolo o uguale ad ogni elemento di B. Le condizioni sono quindi rispetate.

non appar�ene

L’unico elemento che separa i due insiemi è che a Q.

√

√ ∉

Dimostrazione per assurdo

Dimostrare per assurdo significa negare la tesi e giungere ad una contraddizione che ci porta a

capire di aver sbagliato a negare la tesi. Supponiamo per assurdo che esistano m ed n appartenen�

all’insieme dei numeri reali tali che radice di due sia uguale al rapporto tra m ed n.

. )

∃ , : =

√

(

Suppongo che sia m che n siano numeri primi tra loro, cioè rido� ai minimi termini. Elevo

= n

entrambi i termini al quadrato otenendo Mol�plico entrambi i membri per otenendo

2

.

= m

Dalla definizione di numero pari (2•K con K∈N opportuno) deduco che sia un

2

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numero pari. Quando un numero al quadrato è pari, è pari anche il suo numero di partenza

(lemma).

=> => .

( )

= = =

Posso riscrivere l’equivalenza come Dalla

n

definizione di numero pari deduco che anche sia pari. Essendo che sia m che n sono pari, non

2

possono essere numeri primi come supposto. Ciò contraddice l’ipotesi fata.

2.3. assiomi rela�vi

L’assioma di completezza vale solamente in R, dove hanno validità anche gli

all’ordine dei numeri:

Dicotomia, a b R

per ogni e appartenen� all’insieme dei numeri Reali risulta che a sia minore

• o uguale a b oppure b sia minore o uguale ad a.

a, b R = a≤b oppure b≤a

∀ ∈

Assimetria, a b R

per ogni e appartenen� all’insieme dei numeri Reali risulta che se a è

• minore o uguale di b e b è minore o uguale di a, allora a è certamente uguale a b.

a, b R = a≤b e b≤a allora a=b

∀ ∈

a, b, c R

Per ogni appartenen� all’insieme dei numeri Reali risulta che se a è minore o uguale

• di b, allora la somma tra a+c è certamente minore o uguale a quella tra b+c.

a,b,c R a≤b = a+c ≤ b+c

∀ ∈

a, b R

Per ogni appartenen� all’insieme dei numeri Reali risulta che se entrambi sono

• maggiori o uguali di 0, allora la loro somma e il loro prodoto sono certamente maggiori o

uguale a 0.

a,b,∈ R a, b≥0 => a+b≥0 , a•b≥0

∀ Mateo Mammoli�

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3. Cenni di teoria degli insiemi

3.1 sotoinsieme

Se A è un insieme i cui elemen� appartengono ad S, diremo che A è un di S, A⊆S.

l’insieme vuoto

Tra i sotoinsiemi consideriamo anche ∅.

Se A e B sono insiemi non vuo� potremo fare le seguen� operazioni, quali:

Unione: A B = { X∈A oppure X∈B }, cioè X sta in A oppure in B.

• U

Intersezione: B = { X∈A e X∈B }, cioè X sta sia in A che in B.

A

• ∩

Differenza insiemis�ca: A B = { X∈A ma X∉B }, cioè X sta in A ma non in B.

• \

Prodoto Cartesiano: AxB, cioè l’insieme delle coppie (a,b) con a∈A e b∈B.

• insieme delle par� di X, P(X).

L’insieme di tu� i sotoinsiemi di un insieme X è deto All’insieme P(X)

appartengono l’insieme stesso X e l’insieme vuoto. Se A è contenuto in B con A non vuoto e diverso

sotoinsieme proprio.

da B, diremo che A è un Nel caso in cui A = X, l’insieme X-B è deto

complementare di B.

Esempi: 1

,

Siano da� A = [0,1] e B = ] 2] allora,

2

A B = [0,2]

U 1 ,

A B = ] 1] prendo tuto l’insieme degli elemen� comuni ad A e B.

∩ 2 1

A B = [0, ] prendo l’insieme A togliendo gli elemen� di B.

\ 2

3.2. relazione binaria.

Nel caso par�colare in cui A=B, il sotoinsieme A cartesiano A (AxA) è deto

relazione di equivalenza

Una relazione binaria è deta se gode delle seguen� proprietà:

Riflessiva: a∈A (a, a) R