Riassunto esame Analisi matematica 1, Prof. Nigro Roberto, libro consigliato Analisi matematica 1, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone

1^a lezione di Analisi 1 25/09/17

Ci concentreremo sullo studio delle funzioni reali di variabili reali.

Schema di argomenti

1. Sistema dei numeri reali _IR
2. Estremo inferiore e superiore di un insieme di numeri reali _IR
3. Concetto di FUNZIONE: Definizione, proprietà, rappresentazione grafica, funzioni elementari
4. Concetto di LIMITE: limiti per successione e per funzione
5. Continuità e derivabilità di una funzione
6. Studio di funzione
7. Integrale di una funzione
8. Serie numerica
9. Numeri Complessi

Nozioni di insiemistica

A è un insieme, a ∈ A (a appartiene ad A).

∅ insieme vuoto (privo di elementi)

Unione e intersezione

A ∩ B (Dati due insiemi A e B)

Allora A ∪ B = {x ∈ A opp x ∈ B} UNIONE

A ∩ B = {x ∈ A e x ∈ B} INTERSEZIONE

A e B sono DISGIUNTI quando non hanno elementi in comune.

25/09/23

Ci concentreremo sullo studio delle funzioni reali di variabili reali.

Schema di argomenti

1. Il Sistema dei numeri reali _IR
2. Estremo inferiore e superiore di un insieme di numeri reali _IR
3. Concetto di FUNZIONE: Definizione, proprietà, rappresentazione grafica, funzioni elementari
4. Concetto di LIMITE: limiti per successione e per funzione
5. Continuità e derivabilità di una funzione
6. Studio di funzioni
7. Integrale di una funzione
8. Serie numerica
9. Numeri complessi

Nozioni di insiemistica

A è un insieme, a ∈ A (a appartiene ad A).

∅ insieme vuoto (privo di elementi)

Unione e intersezione

A e B (Dati due insiemi A e B)

Allora A ∪ B = { x ∈ A opp x ∈ B } UNIONE

A ∩ B = { x ∈ A e x ∈ B } INTERSEZIONE

A e B sono DISGIUNTI quando non hanno elementi...

Il complementare

A^c (A complementare) = { x | x ∉ A }

La sottrazione

A \ B = { x ∈ A e x ∉ B }

La sottrazione può anche essere scritta come:

A \ B = A ∩ B^c

B \ A = { x ∈ B e x ∉ A }

Ovviamente anche in questo caso possiamo scrivere B ∩ A^c

Il prodotto cartesiano

A, B (Dati due insiemi A e B)

A × B = { (a, b) : a ∈ A, b ∈ B }

Es. A = { 0, 1 } B = { 0, 2, 3 } (Coppie ordinate)

A × B = { (0, 0) (0, 2) (0, 3) (1, 0) (1, 2) (1, 3) }

A² = A × A → A = { (0, 1) (1, 0) (0, 0) (1, 1) }

A × B × C = { (a, b, c), a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C } (Terne ordinate)

A^m = A × A × ... × Am volte

L'inclusione di insieme

A ⊆ B (A è contenuto in B) x ∈ A => x ∈ B

A = { 1, 2, 3 }

B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Il Sistema dei Numeri Reali (ℝ)

"In primis, dobbiamo definire "le regole" della nostra teoria matematica, ovvero GLI ASSIOMI/POSTULATI.

TEORIA MATEMATICA

ASSIOMI/POSTULATI (dati non possono essere dimostrati e sui cui si base la nostra teoria)

TEOREMI, PROPOSIZIONI, *COROLLARI e *LEMMI (che si basano sugli ASSIOMI)

Corollari: sono TEOREMI che vengono dedotti da altri Teoremi.

Un lemma: è un TEOREMA PRELIMINARE.

In genere, i teoremi vengono dedotti tramite una DIMOSTRAZIONE.

Definizione di funzione

"Esistono due insiemi A e B, la funzione f: A → B è la LEGGE che ci permette di associare ad ogni elemento del DOMINIO ( ∀ x ∈ A) uno e un solo elemento del CODOMINIO (y ∈ B)."

f: A → B x → y = f

Aggiunta una figura con insiemi A e B, con freccia da x in A a y in B

Operazioni di aggiunta e moltiplicazione

• Addizione: + ℝ² → ℝ (a,b) → a + b
• Moltiplicazione: • ℝ² → ℝ (a,b) → a • b

Da queste operazioni derivano alcune leggi delle nostre teorie matematica.

1 - Gli assiomi relativi alle operazioni

1) Proprietà ASSOCIATIVA:

a+(b+c) = (a+b)+c   ∀ a,b,c ∈ ℝ

a . (b . c) = (a . b) . c   ∀ a,b,c ∈ ℝ

2) Proprietà COMMUTATIVA:

a+b = b+a   ∀ a,b,c ∈ ℝ

a . b = b . a   ∀ a,b,c ∈ ℝ

3) Proprietà DISTRIBUTIVA:

a . (b + c) = a . b + a . c   ∀ a,b,c ∈ ℝ

(Ovvero mettere in evidenza)

4) Esistenza degli elementi NEUTRI:

0;1 ∈ ℝ

a + 0 = a   ∀ a ∈ ℝ

a . 1 = a   ∀ a ∈ ℝ

5) Esistenza degli OPPOSTI:

∀ a ∈ ℝ, ∃ (−a) ∈ ℝ: a + (−a) = 0

6) Esistenza degli INVERSI:

∀ a ∈ ℝ, a ≠ 0, ∃ a⁻¹ ∈ ℝ: a . a⁻¹ = 1

*Tramite questi Assiomi possiamo ricavare anche la SOTTRAZIONE e la DIVISIONE:

• Sottrazione: a,b ∈ ℝ a−b = a + (−b) -> la sottrazione è definita come la somma di a con l'opposto di b
• Divisione: a,b ∈ ℝ, b ≠ 0 a : b = a⁻¹ = a . b⁻¹ -> la divisione è definita dalla moltiplicazione di a con l'inverso di b

Gli assiomi relativi alle relazioni d’ordine o anche ordinamento (“≤”)

7) Dicotomia: ∀, ∈ ℝ: ≤ opp. ≤

8) Asimmetria: ∀, ∈ ℝ: ≤ e ≤ ⇒ =

9) Se ≤ allora + ≤ + ∀ ∈ ℝ

E.g. - 3 ≤ 2 →

10) 0 ≤ , 0 ≤ ⇒ 0 ≤ + e 0 ≤ ⋅

Definizione: ≥ <=> ≤ Se e solo se

15) Assioma di completezza: ⊂ ℝ , ⊂ ℝ , ≠ ∅ e ≠ ∅, separati e ≤ ∀ ∈ ∀ ∈

Allora: ∃ ∈ ℝ : ≤ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈

Rappresentazione grafica di ℝ

- Per rappresentare i numeri di ℝ adoperiamo una retta orientata

[-2⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯] ≤ (-∞, 0] .: due insiemi sono separati perché (0, +∞) ≤ e il numero () che li separa è lo 0

Proprietà che si deducono (TEOREMI)

Hypothesis (HP): a • b = a • c

Thesis (TH): b = c

Dimostrazione tramite Assiomi:

b = b • 1 = b • (a + (−a)) = (b • a) + (b • (−a)) = (a • b) + (a • (−b)) = PER IPOTESI = (a • c) + (a • (−a)) = (c • a) + (c • (−a)) = c • 0 = c

E • 0 = c

Alla fine, tramite gli Assiomi abbiamo DIMOSTRATO che b = c

Hypothesis (HP): a • b = 0

Thesis (TH): a = 0 oppure b = 0

Sottoinsiemi dei Numeri Reali (R)

Numeri Naturali (N) -> N = {1, 2, 3, 4, ...}

Numeri Interi Relativi (Z) -> Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}

Numeri Razionali (Q) -> Q = {q = m/m', m, m' ∈ Z, m' ≠ 0}

_N^c ⊂ _Z ⊂ _Q

Numeri Irrazionali

Teorema

∀q ∈ Q: q² = 2 → ∀√2 ∉ Q

Dimostrazione per assurdo:

Supponiamo per assurdo che la tesi sia falsa, negandola e arrivando così a una contraddizione.

P ∧ A → ∃q ∈ ℚ: q² = 2

Dove q = m/n

Supponiamo che m, n ∈ ℕ, n ≠ 0, che m e n siano numeri positivi ridotti e che siano anche primi tra loro (ovvero abbiano solo 1 in comune)

(m/n)² = 2 → m²/n² = 2 → m² = 2n²

m² pari → m = pari

∃k ∈ ℕ: m = 2k

(2k)² = 2m² → 4k² = 2m² → m² = 2k²

m² pari → m pari

Se affermiamo che m e n siano primi tra loro e otteniamo il fatto che sia m che n sono pari, allora otteniamo la contraddizione:

Proposizione

∃c ∈ ℝ: x² = 2

Dimostrazione:

A = {q ∈ ℚ: q² < 2}

B = {q ∈ ℚ: q > 0, q² > 2}

A ≠ ∅ B ≠ ∅

A, B sono separati

a < b

a ∈ A, b ∈ B

∃c ∈ ℝ a ≤ c ≤ b

c² = 2

Intervallo di numeri Reali (IR)

a, b ∈ ℝ

a ≤ b

[a, b] = {x ∈ ℝ: a ≤ x ≤ b}

(a, b) = {x ∈ ℝ: a x

Altri tipi d’intervalli limitati

[a, b) = {x ∈ ℝ: a ≤ x

(a, b] = {x ∈ ℝ: a

Intervalli illimitati

[a, +∞) = {x ∈ ℝ: a ≤ x}

(a, +∞) = {x ∈ ℝ: a

(−∞, a] = {x ∈ ℝ: x ≤ a}

(−∞, a) = {x ∈ ℝ: x

(−∞, +∞) = ℝ = ∪ x ∈ ℝ

Modulo o valore assoluto di m NATURALE

x ∈ ℝ

Si eliminome valore assoluto di x

|x| = {- x se x x se x ≥ 0

Es: |-3| = 3 = |3| // |0| = 0 // √x² = |x|

Proprietà

1) ||x| = -3 IMPOSSIBILE |x| ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ