Moto circolare e moto uniformemente accelerato

Moto circolare uniforme

È un caso di moto uniformemente accelerato in cui la velocità scalare (modulo del vettore v) rimane costante e varia solo la direzione della velocità.

Il modulo della velocità rimane costante, tuttavia l'accelerazione non è nulla perché la velocità cambia continuamente direzione.

v = cost.

\[\text{modulo costante}\] \[\text{, il vettore velocità cambia sempre direz.}\]

a = \[ \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} \neq 0\]

a = \[ \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} \]

Modulo

\[ a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\nu \cdot \Delta \chi}{\chi \cdot \Delta t} \]

\[ = \frac{\nu}{r} \left( \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \chi}{\Delta t} \right) = \frac{\nu^2}{r} \] → ∠ ⟳

Modulo velocità

\[ |\vec{a}| = \frac{\nu^2}{r} \Rightarrow |\vec{a}| = |\vec{a}_c| = \frac{\nu^2}{r} \]

v \[ \text{accelerazione centripeta è sempre diretta verso il centro del cerchio}\]

Nota

Il triangolo definito da \(\overrightarrow{v}_2\), \(\overrightarrow{v}_1\) è isoscele così come quello definito dai \(\overrightarrow{v}_1,v_2\).

I due triangoli sono difatti simili, per cui i lati sono in proporzione per il 3° criterio di similitudine.

\[ \Delta \chi : \chi = \Delta v : \nu\]

\[ \Delta v = \frac{\nu^2 \Delta \chi}{r}\]

Moto circolare uniforme

È un caso di moto uniformemente accelerato in cui la velocità scalare (modulo del vettore v) rimane costante e varia solo la direzione della velocità.

Il modulo della velocità rimane costante, tuttavia l'accelerazione non è nulla perché la velocità cambia continuamente direzione.

v = cost.

v ≠ cost.

a⃗ = dV⃗ / dt ≠ 0

a⃗ = lim Δv⃗ / Δt

Modulo

|a| = lim Δt→0 |Δv| / Δt = lim Δt→0 v . Δτ / r . Δt = v / r (lim Δt→0 Δτ / Δt) = v² / r . (rosso: angolo)

Modulo velocità

|a| = v² / r ⇒ |a| = |a| = v² / r

Verde: l'accelerazione centripeta è sempre diretta verso il centro del cerchio.

Nota

Verde: Nota: Il triangolo definito da .z₂ .z₁ è isoscele così come quello definito da v₂ v₁

I due triangoli sono di fatto simili, per cui i lati sono in proporzione Δz : z = Δv : v

Δv = v₂ / r

Direzione

Δv = v₂ - v₁ ha direzione parallela all'asse y e al diminuire di θ assume direzione coincidente a quello del raggio orientato verso il centro.

Quindi: a_c // Δv

Verso

Stesso di Δv

Formula dell'accelerazione centripeta

a_c = - v² / r

r = raggio

Il segno meno sottolinea che l'accelerazione centripeta ha verso opposto a quello dell'asse q_v ed è quindi orientata verso il centro.

Moto circolare vario

La velocità è variabile in modulo e direzione.

v̅ ≠ cost

Agiscono 2 accelerazioni.

• a_c cambia la direzione di v̅
• a_t cambia il modulo di v̅

a̅_t = dv/dt t̅

a̅_tot = dv/dt = a̅_c + a̅_t = -v² / r + dv/dt t̅

Derivata del modulo della velocità

In generale posso esprimere il modulo di a come:

a = √(a_c² + a_t²)

Leggi orarie

(1) Moto circolare uniforme

v = cost S(t) = S₀ + v t V(t) = v(moto lungo t)

(2) Moto circolare vario

a_t = cost: S(t) = S₀ + v₀ t + ½ a_t t² V(t) = V₀ + a_t t

Moto circolare

Vettore posizione

r = R ê

v = v t̂

Traiettoria = circonferenza