Meccanica - il moto

Meccanica

Studio del moto dei corpi.

Si vuole capire come descrivere il moto dei corpi e le relazioni con le sue cause.

• Cinematica: caratteristiche
• Dinamica: cause

Punto materiale

Oggetto privo di dimensioni ma dotato di massa.

Posizione

Determinata dal vettore posizione (in funzione del tempo) in un dato sistema di riferimento.

r(t) = x(t)i_u + y(t)j_u + z(t)k_u

La successione delle posizioni del punto P nello spazio determina la sua traiettoria.

Quiete: particolar stato di moto con vettore posizione che non varia nel tempo in un dato sistema di riferimento.

Moto rettilineo

La traiettoria è una retta orientata. Il sistema di riferimento è una retta orientata.

Diagramma orario

Grafico della funzione x(t), come varia x in funzione del tempo.

Velocità media: v_m = x₂ - x₁ / t₂ - t₁ = Δx / Δt

Meccanica

Studio del moto dei corpi. Si vuole capire come descrivere il moto dei corpi e le relazioni con le sue cause:

• Cinematica: caratteristica
• Dinamica: cause

Punto materiale

Oggetto privo di dimensioni ma dotato di massa (astrazione)

Posizione

Determinata dal vettore posizione (in funzione del tempo) in un dato sistema di riferimento

_r(t) = x(t)_iu + y(t)_ju + z(t)_ku

La successione delle posizioni nel punto P nello spazio determina la sua traiettoria

Quiete

Particolare stato di moto con vettore posizione che non varia nel tempo in un dato sistema di riferimento

Moto rettilineo

La traiettoria è una retta orientata

Il sistema di riferimento è una retta orientata

Diagramma orario

Grafico della funzione x(t), come varia x in funzione del tempo

Velocità

Velocità media _Vmn = ^{x₂ - x₁}/_{t2 - t1} = ^Δx/_Δt

Velocità istantanea: ^lim _Δt->0 ^Δx/_Δt = ^dx/_dt

La velocità è la derivata della posizione rispetto al tempo (tangente).

Il segno della velocità indica il verso del moto.

Δx(t); come calcolare x(t):

Δx(t) = x(t)₂ - x(t)₁

^dx/_dt

dx = Δx(t)₂ dt

x(t) = x₀ + ∫_t0^t s(t) dt

Relazione tra velocità media e istantanea:

^Δx/_Δt ~ ^{∫_t0t s(t) dt}/_t-0

Δt Δvm = ∫_t0^t s(t) dt

• (L'area è la velocità media per l'intervallo temporale)
• (L'area si riduce ad un rettangolo)

Moto rettilineo uniforme

v = const.

x(t) = x₀ + v(t - t₀)

spazio è funzione lineare del tempo

in tempi uguali percorsi spazi uguali

velocità media coincide con quella istantanea

x(t) = x₀ + v(t - t₀) -> legge oraria è una retta

Moto rettilineo accelerato

Velocità cambia nel tempo

a_m = Δv/Δt

a_ist = dv/dt

L’accelerazione è rapportata alla forza.

E il segno di a è quello che accelera. del moto e non quello di v.

a(t) = dv/dt

x(t) = ∫v(t) dt

a = dv/dt

dv = a dt

dx = v dt

x₁ + x₂ - x₁ = v₂t₂ - v₁t₁

= ∫v₁t₁^v₂t₂ dx

(v₂² - v₁²)/2

Moto rettilineo uniformemente accelerato

a = costante

x(t) = x₀ + v₀t + (1/2) a (t - t₀)²

Legge oraria: (1/2) a (x - x_i)² = (1/2) Δv₂²Δt₁²

Esempio:

a = costante, -1 m/s²

v₀ = 2 m/s

(x(t) = 0 + 2t + (1/2) t²)

g = 9.8 m/s²

a = -g

N₀ = 0

t = ?

x(t) = x₀ + N₀ (t-t₀) - ¹⁄₂ g (t-t₀)²

N(t) = N₀ - g (t-t₀)

0 = 400 + 0 - ^0.8⁄₂ (t)²

t² = ^{2 × 100}⁄_9.8

t = 4.51 s

t = ^2x₀⁄_g

t = 2 T

ΔN = ?

ΔN (2) ≅ 20 cm/s = ±2 Km/h

ΔN (4,5) ≅ 5 m/s = 1.61 Km/h

Cerca un cucchiaio verso piatto con N₀:

N₀ = N₀ + x₀*g^1/2

N = N₀ - gt

tempo di metà: 0 = N₀ - gt → t = N₀⁄_g

altezza massima: x_max = x₀ + ^N₀2⁄_2g → ^N₀2⁄_2g

Moti periodici

Una funzione periodica f(t) del tempo

f(t + T)_periodo = f(t)

Teorema di Fourier: Una qualsiasi funzione periodica è esprimibile come una serie ai termini sinusoidali:

f(t) = a₀ + Σ [a_n sin(nωt) + b_n cos(nωt)]

Peggio orario: x(t) = A sin (ωt + φ)⁄f_max

ω(t₂ + φ₂ + φ) = 2π

ω = ^2π⁄_T0

v = I⁰⁄_2π

x(t) = A sin (ωt + φ)

N(t) = ωA cos (ωt + φ)

a(t) = -ω² A sin (ωt + φ)

X_o = t_o comodo = 0

X = A sin ωt

A_o = ω_z cos φ

ω_z = ω tan φ

Risolvendo, trova:

An = ^{X_o2 + V_o2}/_ω²

a = ω² A sin (ω t + φ) + ω² x(t)

^{d2 x}/_dt² = ω² x(t)

Moto smorzato esponenzialmente

L'accelerazione è di segno opposto

a = -kv

a = dv/dt = -KV

dv = -Kdt

v = v_o - K(t - t_o)

ln v = v_o - K(t - t_o)

v(t) = v_o * e^{(_-k(t-to)/τ)}

K = ^A/_τ

Velocità decresce esponenzialmente nel tempo

Tempo si limita a permanere

x(t) = x_o + v_o * (1 - e^-k(t-t_o))

d²t = x_o + v_o * (1 - e^-k(t-t_o))

Se t = o x_o = o

distanza massima tende a ^v_o/_K

a = -kv

dυ = -kυ

dv / dx = dx / dυ = dυ / dt = -kv dt

dυ / dυ = -k

Δt = v_o + K (x - x_o)

Velocità decresce linearmente nello spazio

pendenza = K

Equazioni differenziali

• Moto armonico
• Fermo
• Moto rettilineo uniforme
• Moto uniformemente accelerato
• Moto smorzato

Esercizio

Ex 1.1

t₂ = 4,8 s

v_S = 340 m/s

t₀ = 0   v₀ = 0   x₀ = 0

a = g = 9,8 m/s²

t₂ = 4,8 s

x(t) = 0 + v₀t + 1/2 gt²

t₁ = √(2h/g

x(t₁) = 1/2 g t₁² + h₁ = 0

Suono

x(t₂) = 0

x₀ = v_S(t₂ - t₁) = 0

x(t₂) = 0

h = 98,5 m

t₂ - t₁ = h / v_S = 0,29 s   tempo del suono

Se trascuro le suono:

1/2 gt² = 0,5 · 9,8 · 4,5 = 112,8 m

Esercizio

Un punto che si muove con moto uniformemente accelerato.

x₁ = cost.

v₁ = 1,9 m/s

x₂ = x₁ + Δx

v₂ = 8,2 m/s

Δx = 40 m

a)

b) Δt = ?

x(t) = x₀ + v₀(t - t₀) + 1/2 a (t - t₀)²

v_s(t) = v₀ + a Δt

x₂ = x₁ + v₀(t₂ - t₁) + 1/2 a (t₂ - t₁)²

v₂ = v₁ + a Δt

Δx = v₁ Δt + 1/2 a Δt²

Δx = v₂ Δt - 1/2 a Δt²

v₂ = v₁ + a Δt

- D Δt = v₂ - v₁

Δx = a (v₂ + v₁)(v₂ - v₁) = Δx a(v₂ + v₁)/2 = v₂² - v₁²/2Δx

a = v₂² - v₁²/2Δx

a = (8,2)² - (1,9)² / 2 ⋅ 40 = 3,2 m/s²

2 Δx

Δt = (v₂ - v₁) / v₂ + v₁

2 Δt = 2 Δx/2 Δx

∫₀ dx = a ⋅ Δx = v₂² - v₁² / 2Δx

v₂ = v₁ + a Δt

- D Δt = v₂ - v₁/a

Moto nel piano

r(t) = x(t) i + y(t) j

r'(t) = ṙ(t) u_t + r(t) θ'(t) u_n

Parametrico

x(t) = r(t) cos (θ(t))

y(t) = r(t) sin (θ(t))

Polar

θ = arctan (y/x)

Coordinata curvilinea

v_r = dr_s/dt = ds/dt u_t

ds è le modulo dr_s ma da direzione e verso

Coordinata cartesiana

dr² = dx(t)² + dy(t)²

dr/dt = dx/dt i + dy/dt j

Coordinata polari

(dr/dt)² = (ṙ² - r²(t)θ(t) + Θ(t))

Coordinare cartesiane

Q(t)   l(t)   d²x   ¹   d²y   ¹  dt²   µ^t   dt²   µⁿ

Coordinare parametriche

  ds   µ^t

  dt     dt

  dv   µ^t   ∆v   µⁿ

  dt     R_µ

Se la   è curva   comporre normale

Se la   è costante t_m tra

Moto circolare

La traiettoria è una circonferenza

s(t) = θ(t) R

Relazione tra coordinata angolare e curvilinea

⇒ Rω = ds/dt = v_t ; v_t = Rω

La velocità ha solo la componente tangente quindi solo quella

a = dω/dt

a_r = Rω² ; Rω = v_t = a_t

dv/dt = α (accelerazione angolare)

ω(t) = ω₀ + ∫α_x dt = θ₀ + ωt

s(t) = s₀ + ∫v_t dt = θ₀ + ωt

ω = v_t/R

Posso passare alle coordinate cartesiane:

x(t) = R cos (ω t + t₀)

y(t) = R sin (ω t + t₀)

Moto circolare uniformemente accelerato

_τ = costante

_τ = ⇒ τ = costante

() = ₀ + ∫() → () = ₀ + () = ₀ + ∫₀() = ₀ + ₀ + 1/2²

_τ = costante

= ² (aumento quadraticamente nel tempo) × = (modulo R = )

= / ( × ) = / × + × /

= + × =

̂= ̂ ̂ =

Esercizio 2.5

moto circolare

R=25m

V(max)?

A(nor) A(t) 7 m/s²

r=V²_R

S V=2,5

V²=r.25

r=V²₂₅

(a(n)t²)_R

V=V².25=13,22 m/s

Esercizio 2.4

V=0,3 m/s

moto circolare uniforme

0^s ₄

S T=5 ^s

a=?

ω=w_T l=2 R ω=0,5 T ω=0,5^{2 rad/s}

A_n A₀

ω o a_t m/s²

A_T 2^|a|_√a A₁√A=an. 0,04^{2 m/s2}

Esercizio 2.8

R=0,5 m

t 0 θ_t=0 ω_o=0

θ_T=3/s α_N=2^rad/s2

αθ =0

θl 2π_{l s}

θnonsub α θ 0 l

αs_s=53_st+0+1α+θ_aα5 t²²

t=2

θ_q2.7 s

w²=θe^e_ll^{l=4,3u m/s_|}

q^e_el

q=R_{9,2 m/s}

v^w_E=a_|q_R

ll_E=a_q2=qbubR_θ^|

α^n_E2

αaa = -ω23Rc A=-ω32fRs&sup>c(R31) = 1 4

Moto parabolico

x(t) = V₀ cosθ_x̂ - V₀ sinθ_ŷ

a_y = -g

V_y = 0

V_y = -gt + V_0y

ĝ = 0_x̂ - g_ŷ

x(t) = V₀ cosθ t

y(t) = V₀ sinθ t - ¹/₂ g t²

x(t): x = V₀ cosθ

y(t) = 0 - ^{V₀ sinθ}/_g

y(x(t)) = x tgθ - ¹/₂ ^g/_{V0² cos² θ} x²

cosθ

x_G = ^{2 sinθ cosθ V2 - sin 2θV2₀ sin_g}

x_G = sinθ cosθ V²

y(x_G) = ^{sin2θV2₀/_2g}

t_c = ^{2 sinθ g x₀/_{g 2}}

t_c = 2 ^{sinθ cosθ/gsin 2θV2₀}

sin 2θ = ^{g x/_V2}

θ = ¹/2 sin^{-1 g x_G/_{V2sun sub 0}}