Meccanica: il moto

Meccanica

Studio del moto dei corpi.

Si vuole capire come descrivere il moto del corpo e le relazioni con le sue cause.

Cinematica: caratteristiche.

Dinamica: cause.

Punto materiale

Oggetto privo di dimensioni ma dotato di massa (astrazione).

Posizione

Determinata dal vettore posizione (in funzione del tempo) in un dato sistema di riferimento.

r(t) = x(t)n_x + y(t)n_y + z(t)n_z

La successione delle posizioni nel punto P nello spazio determina la sua traiettoria.

Quiete

Particolare stato di moto con vettore posizione che non varia nel tempo in un dato sistema di riferimento.

Moto rettilineo

La traiettoria è una retta orientata.

Il sistema di riferimento è una retta orientata.

Diagramma orario

Grafico della funzione x(t), come varia x in funzione del tempo.

Velocità

Velocità media: V_mm = (x₂ - x₁) / (t₂ - t₁) = Δx / Δt

Meccanica

Studio del moto dei corpi.

Si vuole capire come descrivere il moto dei corpi e le relazioni con le sue cause.

Cinematica: caratteristiche.

Dinamica: cause.

Punto materiale: oggetto privo di dimensioni ma dotato di massa (astrazione).

Posizione: determinata dal vettore posizione (in funzione del tempo) in un dato sistema di riferimento r(t) = x(t)i_x + y(t)i_y + z(t)i_z

La successione delle posizioni nel punto P nello spazio determina la sua traiettoria.

Quiete: particolare stato di moto con vettore posizione che non varia nel tempo in un dato sistema di riferimento.

Moto rettilineo

La traiettoria è una retta orientata.

Il sistema di riferimento è una retta orientata.

Diagramma orario: grafico della funzione x(t), come varia x in funzione del tempo.

Velocità.

Velocità media: v_m = Δx/Δt

Velocità istantanea:_lim^Δt→0 Δx/Δt = dx/dt

Velocità (v) è la derivata della posizione rispetto al tempo (tangente).

Il segno della velocità indica il verso del moto.

Moto Δx(t), come calcolare x(t)

Δx(t) = dx/dt

dx = Δv(t) dt

x - x₀ = ∫_t0^t Δv(_t) dt

x(t) = x₀ + v₀∫_t0^t Δv(t) dt

Relazione tra velocità media e istantanea:

Δx = v_m Δt = ∫_t0^t₁ Δv(t) dt

Moto rettilineo uniforme

v = cost.

x(t) = x₀ + v(t - t₀)

Spost. = funzione lineare del tempo.

In tempi uguali percorro spazi uguali.

Accelerate sempre a decrescere sempre.

La velocità media coincide con quella istantanea.

Moto rettilineo accelerato

Velocità cambia nel tempo.

a _m = Δv / Δt; Δv = v₂ - v₁; Δt = t₂ - t₁

a = lim (Δt → 0) Δv / Δt; a = dv / dt = d²x / dt²

L'accelerazione è legata alla forza.

E inoltre sappiamo di già che ciò che avviene nel moto non quello di e∫_t1^t a(t) dt = Δv

∫ a(t) dt = ∫ dv

∫ a(t) dt = v(t) - v₀

v(t) = v₀ + t₁ a(t) dt

a = dv / dt

x = dx / dt = dx

x(t) = ∫_t0^t₁ v(t) dt = ∫_t1^t a(t) dt

= ∫_x0^x₁ dx = v₂² - v₁² / 2

= v₂² - v₁² / 2

Moto rettilineo uniformemente accelerato

a = cost

v(t) = v₀ + at = x₀ + at

∫_t0^t dt = ∫_t1^t Δt

v(t) = v₀ + a (t - t₀)

x(t) = x₀ + t₀ v(t₀) + a (t - t₀)

x(t) = x₁ + at

= x₀ + v₀ (t - t₀) + 1/2 a (t - t₀)²

∫_x0² a(x - x₁)

∫v(t) a(x-x₁) = v(t₂)² -

Esempi

a = cost = 1 m/s

v(t) = v₀ - 1 (s^-₁ + t₀)

x(t) = 0 + 2t - 2t

g = 9.8 m/s²

a = -g

V₀ = 0

t = ?

x(t) = x₀ + V₀ (t-t₀) -₁/₂ g (t-t₀)²

V(t) = V₀ - g (t-t₀)

0 = 100 + 0 -₁/₂ 9.8 (t)²

0 = 4t = ².¹⁰⁰/₉.₈ → t ≈ 4.51 s

V = 42

V(t=2 s) ≠ 20 m/s = ±72 Km/h

V(t=4.5 s) ≈ 5 m/s = ±16.1 Km/h

Corpo lanciato verso l'alto con V₀:

x(t) = V₀t - ₁/₂ g t²

V = V₀ - gt

Tempo di reazione: 0 = V₀ - gt → t = V₀/g

Altezza massima: x_m = V₀ V₂ - ₁/₂gx_m = V²₀/_g -₁/₂ g (^V2₀/_g²)

Mot. periodico

La legge oraria è una funzione periodica f(t) del tempo.

f(t+T) = f(t)

T periodo.

Teorema di Fourier: una qualsiasi funzione periodica è esprimibile come una serie ai termini sinusoidali = f(t) = a₀ +^∞∑_n=1 [a_n sen (nt) + b_n cos (nt)]

Legge oraria:

x(t) = A sin (^ω_t + φ)

A ampiezza.

ω pulsazione.

φ fase iniziale.

ω (t₂ + φ) = ω (t + φ) 2π

ω rad/s

v = 2π/T

v frequenza.

x(t) = A sin (ωt + φ)

V(t) = ωA cos (ωt + φ)

a(t) = -ω² A sin (ωt + φ)

x_o t_o comodo 0

x_o = A sin φ

ν_o = ω A cos φ

Aν_o = ω² A sin φ

Risolvendo trovo

ω = ν_o / x_o

tan φ = ω x_o / ν_o

A = √ (x_o² + ν_o² / ω²)

a = -ω² A sin (ω t + φ) + ω² x(t)

d²k / dt² = ω² x(t)

Equazione di opere in scale che ha come soluzione x(t) = A sin φ

Moto smorzato esponenzialmente

L'accelerazione è di segno opposto.

a = -kν

a = dν / dt = -kν

dν = -k dt

∫ν_o^ν dν / ν = - ∫_to^t k dt

ln ν / ν_o = -k (t-t_o)

ν(t) = ν_o e^{-k (t-t_o)}

ν(t) = ν_o e^{t-t_o / τ}

k = 1 / τ

τ costante di tempo.

Velocità decresce esponenzialmente nel tempo.

Tempo a raggiunto per fermarsi.

x(t) = x_o + ν_o τ_o e^-k(t-t_o)

dlt = x_o + ν_o / k (1-e^-k(t-t_o))

Se t = t_o x_o = 0

Distanza massima tende a ν_o / k

a = -kν

a = dν / dt = dx / dt = dv

dv / dx = dx / dt = dv/dx = -k x

∫_xo^x dlt = ∫_νo -k(x-x_o)

Velocità decresce linearmente nello spazio.

Pendenza = k

Equazioni differenziali

• Moto armonico
• Fermo
• Moto rettilineo uniforme
• Moto uniformemente accelerato
• Moto smorzato

Esercizi

Ex 1.1

t_c = ?.8 s

v_s = 360 m/s

s₀ t = 0 v₀ = 0 a = g = 9.8 m/s² t_x = ? x₁ = h = ?

x(t₁) = 0 + 0*t + 1/2 g t² → x(t₁) = 1/2 g t₁² = h-> t₁ = √(2h/g)

Suono

x(t₂) = 0

v_s = 360 m/s

x(t₁) = h = v_s(t₂-t₁) = 0

h - v_s(t₂ - √(2h/g) - 0.79 s

Tempo del suono.

v_s

Se trascuro il suono

h - 1/2 g t² = 0.5 * 9.81 * 4.5 = 112.8 m

Esercizio

Un punto che si muove con moto uniformemente accelerato.

a cost

x₂ = x₁ + Δx

Δx = 10 m

a = ?

b) Δt = ?

{x(t) = x₀ + v₀t + (a(t-t₀)²)/2

v(t) = v₀ + a Δt

x₂ = x₁ + v₁(t₂ - t₁) + (a(t₂ - t₁)²)/2}

{v₂ = v₁ + a Δt

Δx = v₂ Δt + (a(Δt)²)/2

Δx = (v₂ + v₁)/2 Δt

v₂ = v₁ + a Δt

Δt = (v₂ - v₁)/a}

Δx = a ((v₂ + v₁)/2) (v₂ + v₂) = (v₂ - v₁) (v₂ + v₂)² / (2 Δx)

a = v₂² - v₁² = (8,2)² - (1,9)² = 3,2 m/s²

2 Δx . 2 . 10

Δt (v₂ - v₁) = 2 Δx . (2 2 v₂)

= 2 Δ (v₂ - v₁) = v₂ + x₂ Δt

∫ 0 dx = α . Δx = v₂² - v₁²/2 Δx . = v₂² - v₁²/2 Δx

v₂ = v₁ + a Δt = 0 - Δt = (v₂ - v₁)/a

Moto nel piano

_x(t) = x(t)_x̂ + y(t)_ŷ

_r(t) = _r̂(t); r(t) ( r(t) _θ̂(t) )

Parametrizzazione:

x(t) = r(t) cos(θ(t))

y(t) = r(t) sin(θ(t))

Punto:

_θ = arctan (y/x) se x>0

_θ = arctan (y/x) + π se x<0

_v̄med = Δ_r̄ / Δt

_v̄ = lim_Δt→0 Δ_r̄ / Δt

Coordinate curvilinee

Δ_s = |Δ_r̄|

lim_Δt→0 Δ_s / Δt = d_s / d_t

v = d_r / dt = d_s / dt

Coordinate cartesiane

d_v = dx / dt d_y

_v̄ - d_r̄ = dx / dt _x̂ + d_ŷ

Coordinate polari

_ῡ = d( _r̂(t_r(t)) / dt = d_r(t) _x̂ x(t) + d_y = d_t / dt

Accelerazione nel piano

Coordinate cartesiane:

a(t) = d²x/dt² u_x + d²y/dt² u_y

Coordinate parametriche:

v = ds/dt u_t

a = d/dt (v u_t) - v²/R u_n

a = dv/dt u_t + v²/R u_n

a = dv/dt u_t + Δt → u_n

Lungo la traiettoria il termine normale alla traiettoria di modulo v²/R

Se la traiettoria è curva ha sempre una componente normale.

Se la velocità è costante la componente lungo la traiettoria è nulla.

Moto circolare

La traiettoria è una circonferenza.

s(t) = θ(t)R

Relazione tra coordinata angolare e curvilinea v_t = Rω

La velocità ha solo la componente tangente quindi solo quella angolare a = Rα

Moto circolare uniforme

N = cost=> ω = cost

ω(t) = cost v_t = cost

ω = 2π/T

v_t = 2πR/T

Esso è un moto armonico semplice.

Moto circolare uniformemente accelerato

Q_t = costante

a_t = Rα ⇒ α = costante

ω(t) = ω₀ + ∫₀^t α(t) dt = ω₀ + αt

θ(t) = θ₀ + ∫₀^t ω(t) dt = θ₀ + ω₀t + 1/2 αt²

Q_t = costante

a_n = Rω²

ω̅ × r̅ = v̅

d_t = d(v̅)/dt = d(ω̅ × r̅)/dt

= dω̅ × r̅/dt + ω̅ × dr̅/dt

= αÎ × r̅ + ω̅ × v̂

= αRṶ̂_T + ωvṶ̂_N

Esercizio 2.5

Moto circolare.

t = 25m

Vm = ?

Amor = An = ?m/s²

r = V_m² / 25

Vm= r·25

Vm = r·25 = 1,32 m/s

Esercizio 2.4

Vt = 0,3 m/s

Moto circolare uniforme.

t = 5s

Δt = 5 ω_s = π_m / Δt = π_w / t

Am = ω_xy = 0 π_t m/s²

A_r = 0

|A| = |a_k - a_i = 0,0p m/s²

Esercizio 2.8

R = 0,5m

t = 0

θ_i = 0 Α₀ = 0

θ_f = ₃/₂ Α_0,l = 2 rad/s²

d₀

d_4v =0

ta_las = ?

A_T = ?

α_{x 2"}+1

θ_x = 0

θ_v = ?

ω_i = ?

ω_xy = ?

Α = ?

θ= ω_x+ _1; α t²

t = 2θ / Α

θ = ?,7_T ^i=".i /R

ω_P/ = ?,36 m/s&sub>(&triangleq; R = 0,4.2? m/s /α _&sub>V = ?

α_v = ω²/_x

θ_{30, m/s}