Meccanica quantistica - parte 3

Sistemi quantistici unidimensionali

Particella libera (V(x)=0)

L'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo diventa:

Definiamo 2mE/ħ² = k² se E > 0 e −k² se E < 0.

1. E > 0: υ" + k²υ = 0    λ = ±ik    2 soluzioni indipendenti nella forma e^−ikx, e^ikx x ∈ ℝ

   Le 2 autofunzioni sono anche le autofunzioni di p̂, una con autovalore P = +ħk, l'altra con P = −ħk. P > 0: onda progressiva, P < 0: onda regressiva.

   Quindi, tutti i valori dell'energia E > 0 sono possibili autovalori dell'hamiltoniana, e per ciascuno la degenerazione è pari a 2.

2. E < 0: υ" + k²υ = 0    λ = ±k    2 soluzioni indipendenti nella forma e^−kx, e^+kx

   Queste non sono fisicamente accettabili poiché corrispondono a funzioni d'onda non limitate (non normalizzabili) e quindi incompatibili con l'interpretazione probabilistica.

3. E = 0: υ" = 0    ⇒ υ(x) = Ax + B    ⇑    1, x

   Se α = 0 ritroviamo la funzione d'onda di uno stato con quantità di moto definita (p = 0), altrimenti abbiamo soluzioni non fisicamente accettabili (non limitate).

In definitiva abbiamo che il problema di Schrödinger non dipendente dal tempo per una particella libera in moto unidimensionale ammette uno spettro continuo di soluzioni per tutti i valori al E > 0, con autofunzioni υ_E(x) = e^{i px/ħ} / √(2πħ), ad ogni valore di E corrispondono 2 autofunzioni indipendenti, ciascuna delle quali è a sua volta autofunzione dell'impulso con autovalore p = ± √(2mE).

Particella libera (V(x)=0) - Continuazione

L'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo diventa:

\[\frac{ħ²}{2m}γ''=Eγ \Rightarrow γ''+\frac{2mE}{ħ²}γ=0\]

Definiamo \[2mE= k²\], se E > 0 e -k² se E < 0.