Meccanica quantistica - parte 4

4. Teoria del momento angolare

4.1 Rotazioni e relazioni di commutazione del momento angolare

Rotazioni attorno allo stesso asse commutano, mentre attorno ad assi diversi non commutano. Una rotazione in ℝ³ si esprime tramite una matrice 3x3 ortogonale (lascia la lunghezza invariata).

Infatti:

La rotazione non è l'unica operazione espressa da una matrice ortogonale, ma c'è anche la riflessione, quindi poiché det R = ± 1 (da det (R^tR) = 1 = det R^tdet R = (det R)²) allora det R = 1 è una rotazione, det R = -1 è una riflessione.

Rotazione intorno all'asse z di un angolo φ: R_z(φ) =

Rotazione intorno all'asse x di un angolo φ: R_x(φ) =

Rotazione intorno all'asse y di un angolo φ: R_y(φ) =

Nuova forma infinitesima:

R_x(ε) =

R_y(ε) =

R_z(ε) =

R_x(ε)R_y(ε) - R_y(ε)R_x(ε) =

Le matrici di rotazione formano un gruppo in ℝ³ che è il gruppo SO(3).

Rotazioni infinitesime in meccanica quantistica

⟨x⟩ = ⟨x⟩_R = δ_δ(R)⟨x⟩

δ_δ(R) deve essere unitario, isometrico (invertibile) e per ψ =0 deve ridursi a 1̂.

con ĵ un momento angolare scelto in maniera opportuna, in base alla rotazione che si vuole produrre.

4. Teoria del momento angolare

4.1 Rotazioni e relazioni di commutazione del momento angolare

Rotazioni attorno allo stesso asse commutano, mentre attorno ad assi diversi non commutano.Una rotazione in ℝ^3 si esprime tramite una matrice 3x3 ortogonale (lascia la lunghezza invariata).Infatti:

v' =

( v_x' ) = β ( v_y )

( v_y' ) ( v_z )

( v_z' )

v'^{1 2} = ( v_x v_y v_z) R^T R ( v_x )

( v_y )

( v_z )

v'² = v²

R^T R = 1

La rotazione non è l’unica operazione espressa da una matrice ortogonale, ma c’è anche lariflessione, quindi poiché det R = ±1 (da det(A ^T A) = 1 = det R^T det R = (det R) ²) allora det R = 1è una rotazione, det R = -1 è una riflessione.

Rotazione intorno a... ₂ di un angolo φ: R_z(φ) =

( cos φ -sin φ 0 )

( sin φ cos φ 0 )

( 0 0 1 )

Rotazione intorno a... _x di un angolo φ: R_x(φ) =

( 1 0 0 )

( 0 cos φ -sin φ )

( 0 sin φ cos φ )

Rotazione intorno a... di un angolo φ: R_y(φ) =

( cos φ 0 sin φ )

( 0 1 0 )

( -sin φ 0 cos φ )

Nuova forma infinitesima:

R_x(ε) =

( 1 0 0 )

( 0 1 -ε )

( 0 ε 1 )

R_y(ε) =

( 1 0 0 )

( 0 1 0 )

( -ε 0 1 )

R_z(ε) =

( 1 -ε 0 )

( ε 1 0 )

( 0 0 1 )

R_x(ε) R_y(ε) - R_y(ε) R_x(ε) =

( 1 - ε²...) ( 0 ε 0 )

( ε² 1 - ε² -ε )

( -ε ε 1 -ε² )

( 1 - ε²...) ( 0 1 -ε² )

( ε² 1 - ε² -ε ) ( ε 1-ε² )

( -ε ε 1 -ε ) =

= R_x² (ε²) - 1

Le matrici di rotazione formano un gruppo in ℝ³ che è il gruppo SO(3).

Rotazioni infinitesime in meccanica quantistica

|ψ ⟩

| α_x + δφ(R) | α_x

δφ(R) deve essere unitario, isometrico (invertibile) e per ψ = 0 deve ridursi a I^.

δφ( î, n, δφ) = I^ - i Ȟ δφ

ℏ

con Ȟ un momento angolare scelto in maniera opportuna, in base alla rotazione che si vuole produrre.

Rotazioni finite in meccanica quantistica

Ô(n,φ) = exp  [ -i_x / ħ     φ ]

Ô(n,φ) deve avere le stesse proprietà al gruppo delle rotazioni nello spazio ordinario:

• R₁ = 1 → Ô(R₁) = 1
• R^-1 → Ô(R^-1) = Ô^†
• R₃ = R₂R₁ → Ô(R₃) = Ô(R₂) Ô(R₁)

Ô deve riprodurre le commutazioni:

Ô(x,ε)Ô(y,ε) - Ô(y,ε)Ô(x,ε) = Ô(c_z,ε³) - 1, infatti:

[ i -i^xe / ħ + 1 (i^x / ħ)² ε², i -i^ye / ħ + 1 (i^y / ħ)² ε² ] = 1 - i^z / ħ ε² - Ô

( i -i ) e² [ j^x, j^y ] = i -i^z / ħ e²

Quindi:

• [ j^x, j^y ] = iħ j^z
• [ j^y, j^z ] = iħ j^x
• [ j^z, j^x ] = iħ j^y

Se un momento angolare Ĵ ha queste proprietà , allora genera rotazioni nello spa