Appunti su Meccanica quantistica

MECCANICA QUANTISTICA – CHIMICA FISICA II

CONCETTI BASE

Un concetto che è importante conoscere è quello dei numeri complessi. I numeri complessi

sono formati da una parte reale e una immaginaria.

= +

Dove “i” rappresenta il numero immaginario ( i=√−1). Oltre il numero complesso, è

importante anche il numero complesso CONIUGATO dove cambia segno SOLO la parte

immaginaria, mentre la parte reale rimane uguale.

∗

= −

Possiamo fare il prodotto scalare tra il numero complesso e il numero complesso coniugato..

∗ 2 2 2 2

(

= + 2)( − 2) = − + − , à = −1

∗ 2 2 2

||

= + = modulo quadro || √ 2 2

= +

Altra funzione importante che ritornerà utile:

= cos() + ()

Questa è definita funzione oscillante, sinusoidale.

|| ||cos

= = () + ()

= +

∗ − − 0

|| || || ||

= = = = 1

Condizione importante.

Anche i vettori ritorneranno utili:

̂ ̂

⃗ = ̂ + ̂ +

̂

̂

Possiamo riscrivere il vettore in forma MATRICIANA, ossia usando una matrice.

⃗ = ( )

̂

̂, , ̂ → , ℎ = 1 .

PRODOTTO SCALARE ||||

⃗ ∙

⃗⃗⃗ = cos()

Ogni vettore è caratterizzato d 3 proprietà: modulo, direzione e verso. Il modulo indica la

lunghezza, la direzione è la retta che unisce due punti.

̂

2

|⃗| = ⃗⃗ = (̂, ̂, )(−−)

Vale la proprietà commutativa, e inoltre il prodotto dei versori tra loro da come risultato zero!

Motivo per cui i versori vengono chiamati ortogonali.

1° ASSIOMA: L’indistinguibilità delle particelle

“non esiste un mezzo per distinguere 2 particelle uguali, provenienti dalla stessa natura” ( fino alla

fisica attuale…)

2° ASSIOMA:

“ha senso tutto ciò che può essere misurabile, e questo viene chiamato osservabile fisico”

(esempio: velocità, energia cinetica… questo perché sono tutti parametri OGGETTIVI)

3°ASSIOMA:

“se esiste una regione di spazio che non presenta dei campi (magnetici, gravitazionali, elettrici

ecc..) allora lo spazio si dice ISOTROPO”

Il concetto di “assenza di campi” si riporta al concetto di assenza di potenziali, infatti si può dire

che il potenziale sia COSTANTE o che sia NULLO. La conseguenza di questo assioma E’ MOLTO

→

IMPORTANTE “non posso distinguere una particella da un onda”

Si parte dalla fisica classica, riprendendo un concetto base come l’esperimento dell’assorbimento di

energia da parte di un atomo. La conseguenza è che di qualunque tipo di energia si parli, l’atomo

sarà comunque in grado di assorbirla. Questo vale però per la fisica classica… Si scoprirà con Bohr

che questo NON è vero perché esistono solo ALCUNI stati energetici che vengono assorbiti, ossia

→

l’elettrone si trova su orbite specifiche con specifiche energia QUANTIZZAZIONE.

Sappiamo dai concetti di fisica II che una carica in movimento che si trova all’interno di un campo

→

perde energia ELETTROMAGNETISMO.

L’elettromagnetismo, che si basa sulle 4 equazioni di Maxwell, porta avanti concetti importarti che

però non ci permettono di esprimere il movimento degli elettroni perché secondo queste equazioni

l’elettrone non farebbe altro che COLLASSARE su se stesso perché perderebbe tutta l’energia. Per

Bohr esistono delle orbite specifiche in cui l’elettrone può muoversi senza collassare perché

presentano un’energia specifica. Si inizia così a parlare di ENERGIA QUANTIZZATA. Nasce la

cosiddetta MECCANICA QUANTISTICA, formata da assiomi e principi.

Il primo concetto che sta alla base è quello di OPERATORE QUANTOMECCANICO. Data un

osservabile fisico, possiamo associare ad esso un operatore quantomeccanico. Il suo ruolo è agire su

ciò che appare dopo di esso, è CIO’ CHE SERVE PER DESCRIVERE QUELL’OSSERVABILE.

↔ ̂

√ ,

In matematica conosciamo infiniti operatori come ln (x), sin(x) ecc.. ma non è detto che

TUTTI siano quantomeccanici.

Per definire un operatore QUANTOMECCANICO esistono due proprietà a cui deve rispondere:

1) Deve essere LINEARE

Posso capire questa definizione usando una combinazione lineare del tipo:

( ) ) ( )

̂ + = ̂( +

̂ = ̂ + ̂

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

Ossia vale la proprietà DISTRIBUTIVA, e viene definito LINEARE SOLO SE PUO’ VIENE

MESSO DAVANTI ALLA FUNZIONE. Questa proprietà infatti non vale per radici quadrate,

logaritmi e funzioni trigonometriche… bensi’ per DERIVATE e INTEGRALI.

2) DEVE ESSERE HERMITIANO

In questo caso devo costruire il prodotto scalare di una funzione per sé stessa, e l’operatore è

definito hermitiano SE posso associare l’operatore sia ad una che l’altra funzione.

∗ (̂)

∫ Ψ ∙ = < Ψ|̂ >

Posso invertire e mettere l’alfa operatore nella parte di sinistra.

Un operatore si può costruire usando una TABELLA DI CORRISPONDENZA:

FISICA CLASSICA MECCANICA QUANTISTICA

̂ =

x (posizione)

(quantità di moto)

̂ = −ℏ

̂ =

t ( tempo ) Ψ

E ( energia) ̂

= ℏ

Posso quindi ricavare ad esempio altre operazioni di altre grandezze come ad esempio l’energia

potenziale: 2

1 1 1

2 2

= = =

2 2 2

Dopo aver trasformato l’equazione, in modo da renderla più facile, si può calcolare il rispettivo

operatore: 2

2

ℏ 2

̂ = − 2

Se considero 1 sola dimensione, posso riscrivere la derivata parziale in derivata intera. Se ho tre

dimensioni riscrivo la derivata seconda parziale per le altre due coordinate.

1 1

̂

2 2

= ↔ =

2 2

′

↔ ̂ → ̂ = Ψ

Da questa equazione posso avere due soluzione:

=

1) ≠

2)

Posso definire un IMPORTANTE EQUAZIONE DIFFERENZIALE, DETTA EQUAZIONE

DEGLI AUTOVALORI ̂ =

Molto spesso questa equazione differenziale viene definito come un postulato, noi non lo

considereremo come tale e quindi andiamo a definire 4 POSTULATI su cui si basa la

MECCANICA QUANTISTICA.

1° POSTULATO: (, )

“Dato un sistema, SICURAMENTE esiste una funzione che è in grado di descrivere il

sistema in maniera COMPLETA usando coordinate temporali e generalizzate ( spazio-temporale)”

Ψ(, ) è una funzione di stato, se conosco il suo valore posso prevedere il sistema in qualsiasi

spazio-tempo del futuro. Esempi di coordinate generalizzate sono x,y,z nello spazio, oppure x,y per

un gas adsorbito sulla superficie, o x per un elettrone che si muove lungo una retta. Sono dette

COORDINATE GENERALIZZATE perché possono essere polari, sferiche, cartesiane…

La funzione non è una qualunque ma deve avere delle proprietà BEN DEFINITE:

1) Continua

2) Derivabile

3) La derivata prima deve essere continua e derivabile

4) Generalmente è complessa, ossia presenta numeri complessi

5) Non ha significato fisico→ potrebbe essere reale o immaginaria.

6) Deve essere di Classe Q

→

7) Ad un solo valore ad ogni x corrisponde una y, il quadrato della funzione corrisponde ad

una sola probabilità. Non posso avere 2 probabilità per lo stesso evento e devo poter definire

una probabilità ovunque nello spazio di definizione.

Il significato fisico lo assume il prodotto scalare della funzione quando si moltiplica per se stessa

∗ 2

|Ψ |

Ψ = |Ψ |)

ma coniugata. ( < Ψ|Ψ >

Mentre l’integrale DEVE essere 1.

PRODOTTO SCALARE DI DUE FUNZIONI

∗

< | > = ∫ è

ESEMPIO: +∞ ∗

< Ψ|Φ ≥ ∫ Ψ

−∞

Come l’esperimento di una particella in una scatola (vedremo con la 1° applicazione)

La funzione che considero non ha significato fisico perché la FUNZIONI che descrivono il sistema

→

sono COMPLESSE il SIGNIFICATO FISICO è ASSOCIATO SOLO A FUNZIONI REALI.

Ogni funzione che usiamo va NORMALIZZATA ossia la NORMA (lunghezza) deve essere =1,

perché devono esistere.

2

|Ψ |

Se ragiono su ( la densità di probabilità) questa HA un SIGNIFICATO FISICO perché il

risultato che mi ritorna è sempre reale.

- Se volessi trovare la probabilità di avere una particella in un intervallo 0, x1?

1 2

|Ψ |

∫ = 1

0 ′

( à )

Quest’integrale rappresenta l’area, probabilità di trovarla in quell’intervallo.

< Ψ|Ψ > < ∞ →

Inoltre, NON PUO’ ESSERE = A INFINITO PERCHE 1\∞=0 perché

ALTRIMENTI IL SISTEMA NON ESISTEREBBE.

Come già detto, la funzione DEVE essere continua. Se cosi non fosse diventerebbe discontinuo

anche il modulo quadro della funzione. Mentre ad ogni punto deve corrisponde uno e un solo

punto.

Tutte le funzioni di stato fanno parte dello spazio di Hilbert. ( sono infinite) . Questa è una

caratteristica dello spazio lineare Φ = + + ..

1 1 2 2

Tutte le c sono costanti NON NECESSARIAMENTE REALI. Quella sopra è una combinazione

lineare di più funzioni che mi dà come risultato una funzione che descrive lo stato del sistema.

2° POSTULATO

“\se effettuo una misura dell’osservabile fisico A, non posso che avere come risultato uno degli

autovalori associati all’operatore di quell’osservabile”

Gli autovalori DEVONO essere REALI, perché fanno parte di una misura di un osservabile fisico

che esiste realmente.

Se io ho 3 tipo di equazioni dove stabilisco i diversi autovalori che io ho:

̂ = 5

1 1

̂ = −7

2 2

̂ = 18

5 5

Se io faccio una misura sul sistema posso avere 3 risultati: 5, -7, 18. Questo è un ESPERIMENTO

MENTALE, che ci dà sempre un numero reale.

Riassumendo: ̂)

↔

- Ogni osservabile fisico ha il suo operatore ( Ψ),

- Quando si misura A su un sistema descritto da una funzione di stato ( il risultato

possibile della misura è UNO DEI POSSIBILI autovalori.

- Il sistema collassa nello stato proprio che corrisponde a quell’autovalore.

La misura INFLUENZA lo stato del sistema. La misura non è positiva, bensì MODIFICA il sistema

irreversibilmente. ̂

→ , Ψ

Tutta la meccanica quantistica è basata su assiomi e postulati da cui si ricava il resto e

ricapitolando:

1° POSTULATO: “SICURAMENTE esiste una funzione che dipende dalle coordinate

generalizzate (q,t) che mi permettono di descrivere il mio sistema”

2° POSTULATO: “I soli valori che può dare una singola misura su un osservabile associato ad

un operatore sono gli autovalori dell’equazione”

Gli operatori hanno un ruolo importante, privilegiato soprattutto con alcune funzioni.

̂Ψ = Ψ

1 1 1

∗ 2

|Ψ |

∫ Ψ Ψ = = 1 ,

→

Il prodotto dentro l’integrale indica la norma, ossia la lunghezza, del vettore se la funzione non è

1

normalizzata, si usa .

√

DIMOSTRAZIONE DELLE AUTOFUNZIONI (teorema)

Supponiamo di avere 2 tipi di equazioni e autofunzioni:

̂Ψ = Ψ (1)

̂Ψ = Ψ (2)

≠ , .

Definisco come IPOTESI:

Isolo la seconda equazione e la moltiplico per la prima autofunzione ma coniugata ( cambiata di

segno). ∗ (̂Ψ )

Ψ = Ψ

∗ ∗

Ψ ̂Ψ = Ψ Ψ

L’autovalori della seconda equazione è una costante è viene messi fuori. Poi integro entrambi i

membri. ∗ ∗

∫ Ψ ̂Ψ = ∫ Ψ Ψ

Posso usare il simbolismo di Dirac: |̂Ψ |

< Ψ > = < Ψ |Ψ >



Si ricorda che l’operatore è HERMITIANO! Quindi può essere scritto anche davanti all’altra

autofunzione.

Lavoro sull’altra equazione e questa volta moltiplico per il coniugato dell’altra autofunzione.

∗

Ψ (̂Ψ = Ψ )

Svolgo i calcoli e ottengo: ∗

∫(̂Ψ )Ψ = ∫ Ψ Ψ

L’asterisco scompare nell’autovalore in quanto E’ UN POSSIBILE RISULTATO, ED ESSENDO

→

NUMERO REALE IL SUO CONIUGATO RIMANE LO STESSO NUMERO.

< ̂Ψ |Ψ ≥ < Ψ |Ψ >

Uso notazione di Dirac. E riscrivo unendo le due equazioni:

0 = ( − )(< Ψ |Ψ >)

• La differenza tra autovalori è DIVERSA DA ZERO per ipotesi

• < Ψ |Ψ > = 0, .

Mentre

Le autofunzioni generalmente sono ORTONORMALI, ossia formano un set di funzioni

ORTOGONALI che posso usare come funzioni base per descrivere il sistema combinandole

≠

linearmente. Se non posso dire altro che le due autofunzioni sono DEGENERI.

Abbiamo detto che lo spazio di Hilbert contiene dentro di se TUTTE FUNZIONI DI STATO, usate

per descrivere lo stato del sistema, se prendo una funzione tra le infinite presenti:

= Ψ + Ψ , dove le “c” rappresentano NUMERI COMPLESSI. Oppure possiamo

1 1 2 2

∑

= Ψ

riscriverla usando il principio di sovrapposizione sapendo che questo principio vale

=1

come proprietà dello spazio di Hilbert ed il RISULTATO è UNA FUNZIONE CHE DESCRIVE IL

SISTEMA.

|Ψ Ψ | =

Inoltre, è il DELTA DI KRONER e assume che le possibilità siano 2:

= 1

1- Se i=j allora

2- Se i≠j allora =0

,

3° POSTULATO: “Se un sistema è in uno stato rappresentato dalla funzione d’onda allora la

̂

media di una sequenza di misure di un osservabile associato all’operatore è:

∗ ̂

∫

̅ = = numero reale “

∗

∫

Se considero un sistema X e faccio diverse misurazioni posso ottenere diversi autovalori, ad

esempio: Ψ →

Quando lo strumento mentale ha portato il sistema allo stato rimane in quello stato. Essendo

5

X non puro posso conoscere anche un altro autovalore come a3. Facendo esperimenti posso arrivare

ad ottenere la X completa ma diventerebbe complicato perché ho INFINITER AUTOFUNZIONI.

Si usa il 3° principio, si calcola il VALOR MEDIO.

∗

̂ < ϕ|̂ >

∫

̅ = = =< |̂ ≥< ̂| >

< | >

∗

∫

Il denominatore è UGUALE A 1 poiché la funzione è NORMALIZZATA. Posso trovare anche il

valor medio al quadrato: 2 ∗ 2 2

(̅)

̅ = ∫ ̂ ≠

4° POSTULATO:

Ci definisce l’equazione di Schr̈ dinger DIPENDENTE dal tempo che ci permette di ricavare la

funzione: Ψ

̂Ψ

= ℏ Ψ(, )

Sappiamo che la funzione dipende dalle coordinate generalizzate, ci descrive l’evoluzione

̂ ̂ ̂ ̂

= +

spazi