Matrice di rigidezza

Matrice di rigidezza5

La matrice di rigidezza è uno dei concetti fondamentali della meccanica strutturale, della scienza delle costruzioni e del metodo degli elementi finiti (FEM).

In parole semplici: la matrice di rigidezza descrive quanto una struttura si oppone alle deformazioni e mette in relazione le forze applicate con gli spostamenti prodotti.

È l'equivalente "generale" della costante elastica di una molla.

k1. Richiamo alla legge di Hooke

Per una semplice molla abbiamo:

F=kx

dove:

• F = forza applicata;
• k = rigidezza della molla;
• x = spostamento.

La matrice di rigidezza nasce dalla generalizzazione di questa relazione.

Quando abbiamo una struttura reale, infatti, non c'è un solo spostamento, ma molti:

• Spostamento orizzontale;
• Spostamento verticale;
• Rotazioni;
• Deformazioni di più punti.

Quindi una sola costante non basta.

k2. Dalla molla alla struttura

Immaginiamo una struttura molto semplice con due nodi:

Nodo 1 Nodo 2
●==================●

Ogni nodo può muoversi.

Gli spostamenti sono raccolti in un vettore:

u

Ad esempio:

[ ]uu= 1u 2

dove:

• u 1 = spostamento del nodo 1;
• u 2 = spostamento del nodo 2.

Le forze diventano:

[ ]FF= 1F 2

La relazione generale è:

F=Ku

dove:

• F = vettore delle forze;
• u = vettore degli spostamenti;
• K = matrice di rigidezza.

3. Che cos'è la matrice di rigidezza?

La matrice di rigidezza è una matrice quadrata:

[ ]k kK= 11 12
k k21 22

Ogni elemento indica:

• Quanto una forza dipende da uno spostamento;
• Quanto un punto influenza un altro punto.

Ad esempio:

=k +kF u u1 11 1 12 2

significa:

La forza sul nodo 1 dipende sia dal suo spostamento sia dallo spostamento del nodo 2.

4. Significato fisico degli elementi della matrice

Consideriamo:

[ ]k kK= 11 12
k k21 22

Elementi sulla diagonale

k , k11 22

Rappresentano la rigidezza associata allo spostamento dello stesso nodo.

Indicano:

Quanto è difficile spostare quel punto.

Elementi fuori diagonale

k , k12 21

Rappresentano l'interazione tra nodi.

Indicano:

Quanto lo spostamento di un nodo influenza le forze dell'altro.

5. Esempio: una molla tra due nodi

Consideriamo una molla di rigidezza:

k

collegata tra due punti.

Se il nodo 1 si sposta:

u 1

e il nodo 2:

u 2

la forza elasti