Matematica applicata - teoria

Probabilità

XVII secolo: Pascal, Fermat, Huygens propongono delle tecniche di calcolo semplice.

XVIII secolo: Laplace, Gauss, de Moivre … introduzione concetti di variabili casuali, legge grandi numeri, Teorema limite centrale, distribuzione normale, …

XX secolo: Kolmogorov (1933) – la probabilità diventa una teoria unitaria e rigorosa.

Definizione classica di probabilità

Dato un esperimento con un numero finito di possibili esiti equiprobabili, un evento A associato a questo esperimento ha probabilità.

P(A) = _{n° esiti favorevoli (A ⊂ A)} / _{n° esiti totali (possibili)}

A^C ⊆ S è un evento.

• Pro: La definizione vale anche per eventi non equiprobabili.
• Con: Esiti dell'esperimento devono essere fini.

Definizione frequentista di probabilità

Si ripete m volte un esperimento in maniera identica e indipendente, la probabilità dell'evento A, si definisce come:

P(A) = _{n° esperimenti con esito A} / _{m numero totale esperimenti}

• Pro: La definizione vale anche per eventi non equiprobabili.
• Non devo contare gli eventi.
• Contro: Esiti dell'esperimento devono essere finiti.
• Non sempre si può ripetere l'esperimento.

Probabilità

XVII secolo: Pascal, Fermat, Huygens propongono delle tecniche di calcolo semplice.

XVIII secolo: Laplace, Gauss, De Moivre ... introduzione concetti di variabili casuali, legge grandi numeri, teorema limite centrale, distribuzione normale, ...

XX secolo: Kolmogorov (1933) -> La probabilità diventa una teoria unitaria e rigorosa.

Definizione classica di probabilità

Dato un esperimento con un numero finito di possibili esiti equiprobabili un evento A associato a questo esperimento ha probabilità:

P(A) = _{n° esiti favorevoli (a b A)}/_{n° esiti totali (possibili)}

Insieme degli esiti dell’esperimento = Spazio Campione (S o Ω)

A ⊂ S è un evento.

• Pro: Ha come pro che è semplice.
• Come contro: Richiesta esiti equiprobabili e in numero finito.
• A volte non è possibile “contare” gli esiti.

Definizione frequentista di probabilità

Si ripete m volte un esperimento in maniera identica e indipendente, la probabilità dell’evento A, si definisce come:

P(A) = _{n° esperimenti con esito A}/_{mnumero totale esperimenti}

• Pro: La definizione vale anche per eventi non equiprobabili.
• Non devo contare gli eventi.
• Contro: Esiti dell’esperimento devono essere finiti.
• Non sempre si può ripetere l’esperimento.

Calcolo combinatorio

Principio fondamentale del calcolo combinatorio

Si supponga di realizzare due esperimenti e si supponga che il primo esperimento presenti m possibili esiti mentre il secondo presenti m possibili esiti. Le coppie ordinate che contengono gli esiti del primo e del secondo esperimento saranno m x m.

Esempio

Scatola con 6 palline rosse e 5 verdi. Estrazione con reimmissione 3 palline. Qual è la probabilità di ottenere 2 palline rosse e 1 verde non in ordine?

A = 2R + 1V senza ordine

P(A) = ^{n_{esiti favorevoli}}/_{nesiti possibili} = ^{15 x 62}/_11³

n_{esiti possibili} = 11 x 11 x 11 = 11³

n_{esiti favorevoli} = 6 x 6 x 6 + 6 x 6 x 5 + 6 x 5 x 6 = 3 x 5 x 6²

RVR o RVV o VRR

Esempio

Caso senza reimmissione

n_{esiti possibili} = 11 x 10 x 9

n_{esiti favorevoli} = 6 x 5 x 5 + 6 x 5 x 5 + 6 x 5 x 5 = 3 x 6 x 5²

RVR o RVV o RAVP

P(A) = ^{18 x 52}/_{11 x 10 x 9} = ⁵/₁₁

Disposizioni semplici di m elementi di classe k (k ≤ m)

Dati n oggetti distinti, si dicono disposizioni semplici di m elementi di classe k tutti gli allineamenti che si possono costruire prendendo k elementi tra gli m a disposizione, senza ripetizioni.

^Dm,k = ^m!/_(m-k)!

N.B. le disp. semplici sono associate alle estrazioni senza reimmissione.

Disposizioni con ripetizione di m elementi di classe k (k ≤ m)

Dati m oggetti distinti, si dicono disposizioni con ripetizione di m elementi di classe k tutti gli allineamenti di k elementi presi dall'insieme degli m elementi dati.

^DRm,k = m^k

Permutazioni semplici di m elementi

Dati m elementi distinti, si dicono permutazioni semplici di m elementi tutti gli allineamenti degli m elementi.

P_m = D_m,m = m! = m!

Permutazioni con ripetizione di m elementi

Dati m elementi non necessariamente distinti, si dicono permutazioni con ripetizione degli m elementi tutti gli allineamenti di questi m elementi.

P^m_k1,k2,...,kj = ^m!⁄_k1!k2!...kj!

↻ Casa: come si ricava questa formula?

Esempio: Anagrammi dell