Matematica applicata

Variabili aleatorie (o variabili casuali)

(S, F, P) spazio di probabilità

X : {S → ℝ s → X(s)}

Es.

1. Lancio di una moneta S = {T, C} X(s₁) = 1 X(s₂) = 0
2. Lancio di una coppia di dadi X = somma dei due punteggi R_X = range della v.a. X (insieme

Variabili aleatorie (o variabili casuali)

(S, F, P) spazio di probabilità

X : S → R

s ↦ X(s)

Es.

1. Lancio di una moneta

   S = {T, C}_{s1, s2}

   X(s₁) = 1

   X(s₂) = 0

2. Lancio di una coppia di dadi

   X = somma dei due punteggi

   R_X = range della v.a. X (insieme

dei valori assunti

= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

3) 5 lanci di una moneta

X = numero di teste

Y = numero di teste - numero di croci

Z = |numero di teste - numero croci|

R_X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

R_Y = {-5, -3, -1, 1, 3, 5}

R_Z = {1, 3, 5}

Def. Una v.a. X è detta discreta se

il suo range R_X è finito o infinito

numerabile.

Def.

Dato uno spazio di probabilità (S, F, P), una v.a. è

X : S → ℝs ↦ X(s)

tale che ∀ x∈ℝ si ha

{X ≤ x} = {s∈S; X(s) ≤ x}∈F

Oss.

Se X è una v.a. ({X ≤ x}∈F) allora sono eventi anche

• {X > x} (se A ∈ F → A ∈ F) {X > x} ∈ {X ≤ x}
• {a < X ≤ b} (se A, B ∈ F → A ∩ B ∈ F) {a < X ≤ b} = {X ≤ b} ∩ {X > a}
• {X = x} (se A₁, A₂,... ∈ F → ∩ Aᵢ ∈ F) {X = x} = ∩ (x - ¹/_m < X ≤ x)

Funzione di probabilità (o di densità discreta)

X sia una v.a. discreta

Def.

La funz. di prob. (o di densità discreta) di una v.a. X è

P_X: ℝ → [0,1]

x ↦ p_X(x)

con

P_X(x)=^{P({X=x}) x∈R_X0 altrove

◯ P_X(x)≥0

S=∪_xi∈RX{s∈S; X(s)=x_i} = ∪_xi∈RX{X=x_i}ev. mut. esclusivi

1 = P(S) = P(∪_xi∈RX{X=x_i})=

= ∑_xi∈RXP({X=x_i})⬇◯ ∑_xi∈RXP_X(x_i)=1

In particolare se I⊂R allora

P({X∈I}) = ∑_xi∈I p_X(x_i)

Es.

• Tre lanci di una moneta
• X = numero di teste ottenute
• caso moneta non truccata (P(T) = P(C) = 1/2)

R_X = {0, 1, 2, 3}

• p_X(0) = 1/8   (CCC)
• p_X(1) = 3/8   (CCT, CTC, TCC)
• p_X(2) = 3/8   (TTC, TCT, CTT)
• p_X(3) = 1/8   (TTT)

Se Y = numero teste - numero croci

R_Y = {-3, -1, 1, 3}

P_Y (-3) = 1/8

P_Y (-1) = 3/8

P_Y (1) = 3/8

P_Y (3) = 1/8

caso moneta truccata con P(T) = pP(C) = 1-p

X = numero di teste

R_X = {0, 1, 2, 3}

P_X(0) = (1 - p)³

P_X(1) = 3p(1 - p)²

P_X(2) = 3p²(1 - p)

P_X(3) = p³

Se p = 2/3

P_X(0) = 1/27

P_X(1) = 3 ⋅ 2/3 ⋅ 1/9 = 2/9 = 6/27

P_X(2) = 3 ⋅ 4/9 ⋅ 1/3 = 4/9 = 12/27

P_X(3) = 8/27

• Calcolare la prob. di ottenere almeno 2 teste?

P({X≥2}) = P_X(2) + P_X(3) = ¹²⁄₂₇ + ⁸⁄₂₇ = ²⁰⁄₂₇

Es.

Sia una v.a. discreta che assume i valori 1, 2, 5 con prob.

• c², (1-c), 0,21

Determinare i possibili valori di c.

1-c ≥ 0 ⇒ c ≤ 1

P_X(1) + P_X(2) + P_X(5) = 1 ⇒

c² + (1-c) + ²¹⁄₁₀₀ = 1

c² - c + ²¹⁄₁₀₀ = 0

100c² - 100c + 21 = 0

c = 50 ± 2500 - 2100 / 100 = 50 ± 400 / 100 =

= (50 ± 20) / 100 = 7/10 3/10

Se c = ⁷/₁₀ :

• P_x(1) = ⁴⁹/₁₀₀
• P_x(2) = ³/₁₀
• P_x(5) = ²¹/₁₀₀

Se c = ³/₁₀ :

• P_x(1) = ⁹/₁₀₀
• P_x(2) = ⁷/₁₀
• P_x(5) = ²¹/₁₀₀

Funzione di ripartizione (o di distribuzione)

Sia X una v.a. (generica)

Def.

La funzione di ripartizione (o di distribuzione) di una v.a. X è

F_X : ℝ ⟶ [0,1]

x ↦ F_X(x) = P({X ≤ x})

Proprietà

1. F_X è non decrescente, cioè se x₁ < x₂ allora F_X(x₁) ≤ F_X(x₂)

Dim.

{X ≤ x}₁ = {ℓ ∈ S; X(ℓ) ≤ x₁} ⊆ {ℓ ∈ S; X(ℓ) ≤ x₂}

(se A ⊆ B ⇒ P(A)≤P(B))

⇒

P({X≤x₁})≤P({X≤x₂})

_{Fx(x1)                   Fx(x2)}

2)

lim_x→+∞ F_x(x)=1

lim_x→-∞ F_x(x)=0

Dim. (Cenno)

{X≤x}={s∈S;X(s)≤x}→ S

F_x(x)=P({X≤x}) →_x→+∞ P(S)=1

{X≤x}={s∈S;X(s)≤x}→_x→-∞ ∅

F_x(x)=P({X≤x}) →_x→-∞ P(∅)=0

3) F_X è continuo a destra

4) P({X > x}) = 1 - F_X(x)

Dim.

Deriva dal fatto che

{X > x} = {X ≤ x}

P(X > x) = 1 - P(X ≤ x)

^F_X(x)

5) P({a < X ≤ b}) = F_X(b) - F_X(a)

Dim.

{X ≤ b} = {X ≤ a} ∪ {a < X ≤ b}

_{mut. escl.}

P({X ≤ b}) = P({X ≤ a}) + P({a < X ≤ b})

^F_X(b)

^F_X(a)

P(a < X ≤ b) = F_X(b) - F_X(a)

1. P(X = x) = F_X(x) - F_X(x^-)

   Dim.

   ε > 0

   {x - ε < X ≤ x} ε → 0 → {X = x}

   P({x - ε < X ≤ x}) = F_X(x) - F_X(x - ε)

   ε → 0

   P(X = x)

   F_X(x) - lim ε → 0 F_X(x - ε)

2. P(a ≤ X ≤ b) = F_X(b) - F_X(a^-)

   P(a ≤ X < b) = F_X(b) - F_X(a)

P({a < X ≤ b}) = F_X(b) - F_X(a)

Dim.

{a ≤ X ≤ b} = {a < X ≤ b} ∪ {X = a}

P({a ≤ X ≤ b}) = P({a < X ≤ b}) + P({X = a})

= F_X(b) - F_X(a)

Oss. Se F_X è continua

P({X = x}) = 0

( = F_X(x) - F_X(x) )

In più:

P({a<X<b}) = P({a≤X<b}) = P({a<X≤b}) = P({a≤X≤b}) = F_X(b) - F_X(a)

Legame tra funz. di ripartizione e funz. di prob. nel caso di v.a. discrete

X v.a. discreta con R_X={x₁, x₂, ..., x_n}t.c. x₁<x₂<...<x_n

Sia p_X la funzione di prob. della v.a. X

F_X(x) = P({X≤x}) = ∑_xi≤x p_X(x_i)

F_x(x) =

• 0 se x < x₁
• P_x(x₁) se x₁ ≤ x < x₂
• P_x(x₂) + P_x(x₂) se x₂ ≤ x < x₃
• ...
• P_x(x₁) + P_x(x₂) + P_x(x₃) + ... + P_x(x_n) se x_n-1 ≤ x < x_n
• P_x(x₁) + ... + P_x(x_n-1) + P_x(x_n) se x ≥ x_n

∑ x_i∈R_x P_x(x_i) = 1

F_x

P_X(x_n) = F_X(x_n) - F_X(x_n-1)

Es. (F_X continua)

X v.a. esponenziale

λ > 0

F_X(x) = { 0   x < 0 1-e^-λx   x >= 0 }

Calcolare P(X >= 5).

PC(X≥5) = PC(X>5) =

= 1 - F_x(5) = 1 - (1 - e^-λ5) =

= e^-5λ

Es. (v.a. di tipo misto)

F_X(x) =

• 0 x < 0
• x/4 0 ≤ x < 1
• 1/2 + (x-1)/4 1 ≤ x < 2
• 11/12 2 ≤ x < 3
• 1 x ≥ 3

Calcolare P(X=1), P(X=2),

P(X=3) e P(1/2 < X < 3/2)

P(X=1) = F_X(1) - F_X(1^-) = ¹/₂ - ¹/₄ = ¹/₄

P(X=2) = F_X(2) - F_X(2^-) = ¹¹/₁₂ - ³/₄ = ²/₁₂ = ¹/₆

P(X=3) = F_X(3) - F_X(3^-) = 1 - ¹¹/₁₂ = ¹/₁₂

P(¹/₂ < X < ³/₂) = F_X(³/₂^-) - F_X(¹/₂^-) =

= F_X(³/₂) - F_X(¹/₂) = ¹/₂ + ^3/2/₁ - ^1/2/₄ = ¹/₂