Matematica applicata

Variabili aleatorie (o variabili casuali)

(S, F, P) spazio di probabilità

X: S -> R

s -> X(s)

Esempi introduttivi

• Es. 1) Lancio di una moneta. S = {T, C}. X(s₁) = 1. X(s₂) = 0.
• Esempio 2) Lancio di una coppia di dadi. X = somma dei due punteggi. R_X = range della v.a. X (insieme).

Variabili aleatorie (o variabili casuali)

(S, F, P) spazio di probabilità

X: { S -> R

s -> X(s)

Esempi

• Es. 1) Lancio di una moneta. S = {T, C}. s1 s2. X(s1) = 1. X(s2) = 0.
• Esempio 2) Lancio di una coppia di dadi. X = somma dei due punteggi. R_X = range della v.a. X (insieme dei valori assunti) == {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
• Esempio 3) 5 lanci di una moneta. X = numero di teste. Y = numero di teste - numero di croci. Z = |numero di teste - numero croci|. R_x = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. R_y = {-5, -3, -1, 1, 3, 5}. R_z = {1, 3, 5}.

Definizioni

Def. Una v.a. X è detta discreta se il suo range R_x è finito o infinito numerabile.

Def. Dato uno spazio di probabilità (S, F, P), una v.a. è X: S -> R, s -> X(s), tale che, x ∈ R, si ha {X ≤ x} ∈ F.

La funzione di probabilità p_X di una v.a. discreta è definita da p_X(x) = P({X = x}) = P(X^-1({x})).

La funzione di ripartizione, o distribuzione cumulativa, della v.a. X è F_X(x) = P({X ≤ x}).

Proprietà

• Proprietà 1) F_X è monotona non decrescente.
• Proprietà 2) lim_x→-∞ F_X(x) = 0 e lim_x→+∞ F_X(x) = 1.
• Proprietà 3) F_X è continua a destra.
• Proprietà 4) P({X > x}) = 1 - P({X ≤ x}) = 1 - F_x(x).
• Proprietà 5) P({a < X ≤ b}) = F_x(b) - F_x(a).

Dimostrazione della proprietà 5

{X ≤ b} = {X ≤ a} U {a < X ≤ b}

mut. escl.

P({X ≤ b}) = P({X ≤ a}) + P({a < X ≤ b})

F_x(b)

F_x(a)

P({a < X ≤ b}) = F_X(b) - F_X(a)

Probabilità puntuale

6) P({X = x}) = F_X(x) - F_X(x^-)

Dim.

ε > 0

{x - ε < X ≤ x} → {X = x}

P({x - ε < X ≤ x}) = F_X(x) - F_X(x - ε)

P({X = x}) = F_X(x) - lim F_X(x - ε)

Intervalli e limiti sinistri

7) P({a < X ≤ b}) = F_X(b) - F_X(a^-)

P({a ≤ X < b}) = F_X(b^-) - F_X(a^-)

P(a < X <= b) = F_x(b) - F_x(a)

Dim.

{a <= X <= b} = {a < X <= b} U {X = a}

P({a <= X <= b}) = P({a < X <= b}) + P({X = a}) = F_x(b) - F_x(a^-)

Oss. Se F_x è continua, P({X = x}) = 0 (= F_x(x) - F_x(x)).

In più: P({a < X < b}) = P({a ≤ X < b}) = P({a < X ≤ b}) = P({a ≤ X ≤ b}) = F_X(b) - F_X(a)

Legame tra funzione di ripartizione e funzione di probabilità nel caso di v.a. discrete

Legame tra funz. di ripartizione e funz. di prob. nel caso di v.a. discrete.

X v.a. discreta con R_X = {x₁, x₂, ..., x_n} t.c. x₁ < x₂ < ... < x_n.

Sia p_X la funzione di prob. della v.a. X.

F_X(x) = P({X ≤ x}) = ∑_xi≤x p_X(x_i)

F_X(x) = {

∑_{xi ∈ RX} P_X(x_i) = 1

P_X(x_n) = F_X(x_n) - F_X(x_n-1)

Esempio con F_X continuo

Es. (F_X continuo)

X v.a. esponenziale

λ > 0

F_X(x) = { 0 x < 0; 1 - e^-λx x ≥ 0

Calcolare P({X ≥ 5}) - F_x

P(X > 5) = P(X > 5) == 1 - F_x(5) = 1 - (1 - e^-5λ) == e^-5λ

Esempio con v.a. di tipo misto

Es. (v.a. di tipo misto)

F_x(x) =

Calcolare P({X = 1}), P({X = 2}), P({X = 3}) e P({1/2 <= X <= 3/2})

F_x

P({X = 1}) = F_x(1) - F_x(1^-) = 1/2 - 1/4 = 1/4

P({X = 2}) = F_x(2) - F_x(2^-) = 11/12 - 3/4 = 2/12 = 1/6

P({X = 3}) = F_x(3) - F_x(3^-) = 1 - 11/12 = 1/12

P({1/2 < X < 3/2}) = F_x(3/2^-) - F_x(1/2) == F_x(3/2) - F_x(1/2) = 1/2 + (3/2 - 1)/4 - 1/4 = 1/2