Appunti teoria Matematica e statistica applicata

Esperimento stocastico

Esperimento stocastico: attività o procedura che può produrre diversi esiti (realizzazioni). Non certo, aleatorio/random.

Spazio campionario

Spazio campionario: insieme di tutti i possibili esiti.

Ω = { } Spazio campionario

w ∈ Ω esito/Elemento dello spazio campionario

Evento

Evento: sottoinsieme dello spazio campionario.

Evento elementare: evento che contiene un solo esito.

Spazio di probabilità (Ω finito)

Assegna ad un evento A in Ω un numero 0 ≤ P(A) ≤ 1 tale che:

P(Ω) = 1

P(A∪B) = P(A) + P(B), x e B sono _disgiunti

P(A) = probabilità di A

∑ = insieme delle parti di Ω = dei sottoinsiemi

Ē ∈ dentro spazio degli eventi

La terna (Ω, Σ, P) è uno spazio di probabilità su Ω

Spazio di probabilità uniforme

Un insieme finito Ω è detto equiprobabile/uniforme se P assegna la stessa probabilità a tutti gli eventi elementari { } di Ω.

Esperimento stocastico

Esperimento stocastico: attività o procedura che può produrre diversi esiti (realizzazioni). Non certo, aleatorio/random.

Spazio campionario

Spazio campionario: insieme di tutti i possibili esiti.

Ω = { } ... { } _{Spazio campionario}

w ∈ Ω esito/elemento _{dello spazio campionario}

Evento

Evento: sottoinsieme dello spazio campionario.

Evento elementare = evento che contiene un solo esito.

Spazio di probabilità (Ω finito)

Assegna a un evento A ∈ Ω un numero 0 ≤ P(A) ≤ 1 tale che:

P(Ω) = 1

P(A∪B) = P(A) + P(B), A e B sono disgiunti.

P(A) = probabilità di A.

Σ = insieme delle parti di Ω = dei sottoinsiemi

La terna (Ω, Σ, P) è uno spazio di probabilità su Ω.

Spazio di probabilità uniforme

Un insieme finito Ω è detto equiprobabile/uniforme se P assegna la stessa probabilità a tutti gli eventi elementari { } ... { }

Per uno spazio di probabilità uniforme

Regola del complemento: P(A^c) = 1 - P(A)

Regola dell'addizione: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

A oppure B A ∪ B

Sia A che B = A e B = A ∩ B

A / B = A ∪ B^c

Spazio campionario infinito

Lanciamo un dado fino a quando non otteniamo 6

Spazio degli stati: Ω = {1, 2, 3, ... }

Funzione di probabilità: P(n_i) = ( ⁵/₆ )^{i-1 1}/₆

P(Ω) = 1

P(A₁ ∪ A₂ ∪ ...) = P(A₁) + P(A₂) + ... x A₁, A₂, ... sono eventi disgiunti

A ∪ B = (A/B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B/A)

P(A ∪ B) = P(A/B) + P(A ∩ B) + P(B/A)

P(A) = P((A/B) ∪ (A ∩ B)) = P(A/B) + P(A ∩ B)

P(B) = P((B/A) ∪ (B ∩ A)) = P(B/A) + P(B ∩ A)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

(E ∪ F)^c = E^c ∩ F^c

P(E^c ∩ F^c) = P((E ∪ F)^c) = 1 - P(E ∪ F)

Leggi di de Morgan

A₁, ..., A_n ⊆ Ω

(A₁ ∪ ... ∪ A_n)^c = A₁^c ∩ ... ∩ A_n^c

(A₁ ∩ ... ∩ A_n)^c = A₁^c ∪ ... ∪ A_n^c

Spazio di probabilità discreto

Dato:

Ω: insieme discreto non vuoto

Σ: insieme delle parti di Ω

Una funzione \(P: \Sigma \rightarrow [0,1]\) è detta funzione di probabilità.

Se P assegna ad ogni evento \(A \subset Ω\) un numero \(0 \leq P(A) \leq 1\) tale che:

P(Ω)=1

P(A₁ ∪ A₂ ∪ ...) = Σ_i=1^∞ P(A_i)

Se sono soddisfatte P(A) è detta probabilità di A e \((Ω,Σ,P)\) spazio di probabilità su Ω

σ-Algebra

Dato:

Ω = Un insieme

Diremo: Σ (una famiglia di sottoinsiemi di Ω) la chiameremo σ-algebra se:

1. Ω, ∅ ∈ Σ
2. A ∈ Σ ⇒ A^c ∈ Σ
3. A₁, A₂,... ∈ Σ ⇒ A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∈ Σ

Permutazioni

Dati n oggetti distinti, una n-pla ordinata di tutti gli n oggetti.

P(n) = n! = n (n-1) (n-2) ... 2 · 1

Disposizione con ripetizione

Dati n oggetti distinti e k≤n, una disposizione con ripetizione di questi ultimi a k a k- uVA k-pla ordinata di k oggetti scelti tra gli n dati, con la possibilità di ripetizione.

D^R(n;k) = n^k

Disposizione semplice

Dati n oggetti distinti e k≤n, una disposizione semplice di questi ultimi a k a k è una k-upla ordinata di k oggetti scelti tra gli n dati.

D(n,k) = ^n! ⁄ _(n-k)!

Combinazione semplice

Dati n oggetti distinti e k ≤ n, una combinazione semplice di questi ulti