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Algebra lineare: matrici e sistemi lineari

Ordine della matrice

L'ordine della matrice è dato dal prodotto tra il numero delle righe e il numero delle colonne. Una matrice A di ordine m x n è una tabella doppiamente ordinata di un certo numero di righe e un certo numero di colonne e costituita da una serie di numeri che nel loro insieme prendono il nome di elementi. Tali elementi sono identificati da due indici di posizione, rispettivamente di riga e di colonna.

In una matrice quadrata, se due elementi hanno stessi indici, ma posti in ordine inverso, sono detti coniugati. Quando il numero delle righe è uguale al numero delle colonne, m = n, si parla di matrice quadrata. Quando invece il numero delle righe è diverso rispetto al numero delle colonne, per cui m ≠ n, si parla di matrice rettangolare.

Quando la matrice è formata da una sola riga o una sola colonna, si parla di vettore riga o vettore colonna. La riga o la colonna di una matrice è detta linea. Se vi sono più righe o più colonne si parla di linee parallele. Una linea si dice identicamente nulla quando sono nulli tutti i suoi elementi. Allo stesso modo, una matrice si dice nulla quando sono tali tutti i suoi elementi.

Due matrici si dicono simili quando hanno lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne. A loro volta, due matrici simili si dicono eguali quando i loro elementi corrispondono. Una matrice quadrata può essere:

• Simmetrica: se essa coincide con la sua trasposta.
• Antisimmetrica: quando vi è una matrice quadrata tale che la sua opposta coincide con la sua trasposta (la matrice trasposta è quella matrice che si ottiene scambiando le righe con le colonne, Te viene indicata con A^T).

Matrice di 1^o ordine

È formata da un solo elemento il cui determinante è l’elemento stesso. In una matrice quadrata vi sono due diverse diagonali: una principale, formata da tutti gli elementi che vanno da sinistra verso destra e una secondaria, formata da quei elementi che vanno da destra verso sinistra.

Quando gli elementi di una matrice sono tutti nulli, eccetto gli elementi della diagonale principale, si parla di matrice diagonale e se gli elementi della diagonale sono uguale ad 1, si parla di matrice identità o unità indicata con I. E ancora, una matrice può essere:

• Triangolare superiore: se gli elementi al di sotto della diagonale principale sono tutti nulli.
• Triangolare inferiore: se gli elementi al di sopra della diagonale principale sono tutti nulli.

Le matrici godono di alcune importanti proprietà:

1. Proprietà Riflessiva: perché la matrice A è uguale a sé stessa.
2. Proprietà Simmetrica: perché se A = B ciò implica che anche B = A.
3. Proprietà Transitiva: perché se A = B e B = C ciò implica che anche A = C.

Operazioni tra matrici

Tra matrici è possibile effettuare diverse operazioni, tra cui la somma, la quale però è possibile solo nel caso di matrici simili ossia matrici che hanno lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne. C = A + B. Per eseguire questa operazione, basta semplicemente andare a sommare tutti quegli elementi che occupano la medesima posizione in entrambe le matrici: es. a₁₁ + b₁₁.

Con lo stesso procedimento è possibile effettuare anche una sottrazione tra matrici: es. a₁₁ – b₁₁, C = A - B.

Sono possibili anche diverse moltiplicazioni il cui risultato è la matrice prodotto: C = A x B.

• Moltiplicazione riga x colonna
• Moltiplicazione colonna x colonna
• Moltiplicazione riga x riga anche per matrici rettangolari simili
• Moltiplicazione colonna x riga

È possibile solo se il numero delle colonne della prima matrice, che possiamo definire matrice A, è uguale al numero delle righe della seconda matrice, che possiamo definire matrice B. In pratica si moltiplica la prima riga della matrice A per la prima colonna della matrice B e così via.

È possibile solo se il numero delle colonne della matrice A è pari al numero delle colonne della matrice B. Si moltiplica la prima riga della matrice A per la prima riga della matrice B e così via.

È possibile solo se il numero delle righe della prima matrice è pari al numero delle righe della seconda matrice. Si moltiplica la prima colonna della matrice A per la prima colonna della matrice B e così via.

È possibile soltanto se il numero delle righe della matrice A è pari al numero delle colonne della matrice B. Si moltiplica la prima colonna della matrice A per la prima riga della matrice B e così via.

Esistono due importanti proprietà:

• Proprietà Commutativa: questa sancisce che in una addizione, cambiando l’ordine degli addendi, il risultato non cambia; in una moltiplicazione, cambiando l’ordine dei fattori, il prodotto non cambia.
• Proprietà Associativa: questa sancisce che in una addizione con più addendi, è possibile sostituire alcuni termini con la loro somma. Allo stesso modo, in una moltiplicazione con più fattori, è possibile sostituire alcuni termini con il loro prodotto.

Il determinante |A|

Il determinante è un numero che viene associato a ogni matrice quadrata ed è fornito dalla differenza dei prodotti degli elementi delle due diagonali, quella principale meno quella secondaria. La teoria del determinante si è sviluppata principalmente per poter risolvere i sistemi di equazioni lineare e per poter trovare l’inversa di una matrice quadrata. Esso può essere calcolato in due modi: o con la regola di Sarrus o con il Teorema di Laplace.

Praticamente, la regola di Sarrus consiste nel riportare accanto alla terza colonna della matrice le prime due colonne e sviluppare i prodotti delle diagonali, detti prodotti associati alla matrice A. Pertanto, il determinante è dato dalla differenza tra la somma dei prodotti degli elementi della diagonale principale e la somma dei prodotti degli elementi della diagonale secondaria.

Tuttavia Sarrus permette di calcolare il determinante solo di matrici di terzo ordine. Infatti, se abbiamo una matrice di ordine superiore, non possiamo utilizzare Sarrus, ma dobbiamo adottare il Teorema di Laplace, il quale può essere utilizzato anche in caso di matrici di ordine inferiore, anche se il calcolo risulterebbe molto più lungo e complesso.

Teorema di Laplace

Sia A una matrice quadrata di ordine m x n, il determinante si ottiene moltiplicando gli elementi di una qualsiasi riga o una qualsiasi colonna per i rispettivi complementi algebrici e poi andando a sommare tutti i prodotti ottenuti. Se però gli elementi di una riga o di una colonna risultano nulli, a sua volta il determinante sarà anche nullo.

Complemento algebrico: è il prodotto del suo minore complementare. Minore complementare: è il determinante di una sottomatrice di A. In caso di complemento bisogna prestare attenzione al segno in quanto se la somma degli indici è dispari, il segno cambia, se invece la somma degli indici è pari, allora il segno rimane uguale.

Proprietà dei determinanti

1. Secondo Teorema di Laplace: enuncia che la somma dei prodotti degli elementi di una qualsiasi colonna o riga per i complementi algebrici degli elementi di una linea parallela, è nulla.
2. Una matrice quadrata e la sua trasposta hanno uguale determinante.
3. Se in una matrice quadrata, gli elementi di una riga o di una colonna sono nulli, a sua volta il determinante sarà anche nullo.
4. Se in una matrice quadrata, due linee sono uguali, il determinante sarà nullo.
5. Se in una matrice quadrata, due linee parallele sono proporzionali, il determinante sarà nullo.
6. Se in una matrice quadrata si scambiano tra loro le righe o le colonne, si ottiene una matrice B il cui determinante può avere segno positivo o segno negativo, a seconda del numero degli scambi: segno positivo se il numero degli scambi è pari, segno negativo se il numero degli scambi è dispari.
7. Se in una matrice quadrata si moltiplicano gli elementi di una riga o di una colonna per K cioè per una costante, a sua volta il determinante risulterà moltiplicato per K.

Se il determinante è nullo, |A|= 0 si parla di matrice singolare. Se invece è diverso da zero, |A| ≠ 0 si parla di matrice non singolare. Come abbiamo visto, da una matrice quadrata si possono estrarre delle sottomatrici, eliminando da A una i-esima riga e una j-esima colonna, e ciò accade nel caso del Teorema di Laplace o quando si deve calcolare la caratteristica della matrice.

Rango della matrice

La caratteristiche o il rango di una matrice non è altro che l’ordine massimo dei minori non tutti nulli che si possono estrarre dalla matrice stessa. Esso può essere calcolato in due modi: con il criterio dei minori o con la regola di Kronecker.

Per quanto concerne il criterio dei minori:

• Si calcola il determinante della matrice: se risulta diverso da zero, allora la matrice è di rango 3. |A| ≠ 0 P (A) = 3
• Se invece il determinante è nullo, allora la matrice è di rango inferiore a 3. |A| = 0 P (A) < 3

Per cui bisogna estrarre una sottomatrice di A e calcolare il suo determinante: se risulta diverso da zero allora, la matrice è di rango 2. |A| ≠ 0 P (A) = 2

Diversamente, la regola di Kronecker permette di identificare la caratteristica di una matrice senza necessariamente dover esaminare tutti i minori da essa estraibili. Si sceglie un minore di secondo ordine diverso da zero e si orla questo, in tutti i modi possibili, con le righe e con le colonne rimanenti.

Se tutti i minori di ordine 3 risultano nulli, allora la matrice è di rango 2. Se uno dei minori risulta diverso da zero, allora bisogna ripetere l’operazione, partendo da questo minore. E ancora, se tutti i minori di ordine 4 risultano nulli, allora la matrice è di rango 3. Se però uno dei minori risulta diverso da zero, allora bisogna ripetere l’operazione.

Matrice inversa

La matrice inversa è quella matrice che moltiplicata per la matrice di partenza restituisce la matrice identità, che come abbiamo detto, è quella matrice i cui elementi sono tutti nulli, tranne quelli della diagonale principale che sono pari a uno. Se però il determinante è nullo, non è possibile invertire. Infatti condizione necessaria e sufficiente affinché esista la matrice inversa, indicata come A^-1, è che il determinante sia diverso da zero e quindi che la matrice sia non singolare. |A| ≠ 0

Per trovare la matrice inversa bisogna seguire alcuni passaggi:

1. Calcolare il determinante della matrice di partenza.
2. Trovare la matrice aggiunta della matrice data cioè la matrice dei complementi algebrici, anche detta matrice dei cofattori.
3. Trovare la trasposta della matrice aggiunta.
4. Per finire, costruire la matrice inversa dividendo gli elementi della trasposta per il determinante trovato inizialmente.

Teorema di Binet

È quel teorema che collega il prodotto tra matrici quadrate ed il determinante. Esso enuncia che, il determinante di una matrice, prodotto per righe di due matrici simili, è nullo se m > n ovvero se il numero delle righe è maggiore al numero delle colonne. È uguale al prodotto dei determinanti delle matrici se m = n ovvero se il numero delle righe è uguale al numero delle colonne. Ed è uguale alla somma dei prodotti dei determinanti dei minori tratti dalle matrici se m < n cioè se il numero delle righe è inferiore rispetto al numero delle colonne.

Sistema di equazioni lineare

Un’equazione lineare è un’equazione di 1^o grado. Un sistema di equazioni lineare è un sistema di m equazioni in n incognite costituito da una serie di numeri reali detti coefficienti e da termini costanti o noti, indicati con lettera h. Se il termine noto è nullo, per cui h = 0, si parla di sistema lineare omogeneo.

E quindi si dice sistema lineare omogeneo quel sistema in cui tutti i termini noti delle equazioni che lo definiscono sono nulli. Da un sistema lineare possiamo ricavare due matrici: la matrice incompleta o dei coefficienti (A), che è una matrice costituita dai soli numeri reali e la matrice completa (A/B) che include anche i termini noti.

Un sistema può essere compatibile se ammette una o più soluzioni o impossibile se non ammette soluzioni. Per la risoluzione di un sistema lineare si fa ricorso al sistema di Cramer, ovvero quel sistema di m equazioni in n incognite la cui caratteristica è massima cioè il rango è massimo ed il determinante è diverso da zero. Il Teorema di Cramer afferma che il sistema ammette una e sola una soluzione. Una sola soluzione perché la caratteristica è massima e coincide con il numero delle incognite, per cui vi è un solo parametro libero. Quindi un sistema si dice di Cramer se il determinante della matrice incompleta è diverso da zero. det (A) ≠ 0

Ogni incognita soddisfacente rappresenta una soluzione del sistema.

Teorema di Rouché – Capelli

Esso sancisce che condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema lineare ammetta soluzioni è che la caratteristica della matrice incompleta sia uguale alla caratteristica della matrice completa. P (A) = P (A/B)

Se la caratteristica della matrice incompleta è inferiore rispetto a quella della matrice completa, non è possibile applicare il Teorema di Rouché – Capelli, per cui il sistema è impossibile. P (A) < P (A/B)

Se invece le due matrici hanno uguale caratteristica, allora è possibile applicare questo teorema e più esattamente, se le due matrici hanno uguale caratteristica ed è pari al numero delle incognite, allora il sistema ammette una sola soluzione. P (A) = P(A/B) = n

Se invece le due matrici hanno uguale caratteristica, ma minore rispetto al numero di incognite, il sistema allora ammette infinite soluzioni. P (A) = P (A/B) < n

Due sistemi lineari si dicono equivalenti quando hanno uguali soluzioni. Sistemi equivalenti hanno necessariamente la stessa caratteristica. Infatti, ogni soluzione del primo sistema è anche soluzione del secondo sistema.