Limiti

TEOREMA DI UNICITA'

Ip. ∃ lim f(x) = ℓx→x₀

Tesi ℓ è unico.

Dim.

Supponiamo per assurdo che lim f(x)=ℓ₁ e lim f(x)=ℓ₂con ℓ₁ ≠ ℓ₂. Allora

0 < |ℓ₁ - ℓ₂| = |ℓ₁ - f(x) + f(x) - ℓ₂| ≤ |ℓ₁ - f(x)| + |f(x) - ℓ₂| == |-[f(x)-ℓ₁]| + |f(x)-ℓ₂| = |-1| · |f(x)-ℓ₁| + |f(x)-ℓ₂| == |f(x)-ℓ₁| + |f(x)-ℓ₂| < ε + ε = 2ε    ∀x ∈ I(x₀) - {x₀}

ma ciò è una contraddizione logica poiché non esiste alcun numero positivo minore di qualsiasi quantità positiva piccola a piacere

lim sin xx→∞

TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO.

Ip. ∃ lim f(x) = ℓ con ℓ > 0 [ℓ < 0]

Tesi ∀x ∈ I(x₀) - {x₀}   f(x) > 0 [&f(x) < 0]

Dim.

Se lim f(x)=ℓ allora per definizione di limite

∀ε > 0 ∃ I(x₀)/ ∀x ∈ I(x₀) - {x₀} si ha |f(x)-ℓ|<ε

=> ℓ - ε < f(x) < ℓ + ε. Se ε = |ℓ|/2

pertanto ℓ - |ℓ|/2 < f(x) < ℓ + |ℓ|/2

1) se ℓ > 0 allora ℓ - ℓ/2 < f(x) => ℓ/2 < f(x) => f(x) > ℓ/2 > 0

2) se ℓ < 0 allora f(x) < ℓ - ℓ/2 => f(x) < ℓ/2 < 0

COROLLARIO DEL TH. DELLA PERMANENZA DEL SEGNO

f(x) > 0   ∀x ∈ I(x₀) - {x₀}   => ℓ ≥ 0

f(x) < 0   ∀x ∈ I(x₀) - {x₀}   => ℓ ≤ 0

TEOREMA DEL CONFRONTO

1p.

lim f(x) = l

x->x₀

lim g(x) = l

x->x₀

f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)     vx ∈ I(x₀) - {x₀}

TESI

lim h(x) = l

x->x₀

Dim.

Se lim f(x)=l allora ∀ε>0 ∃ I^l_ε(x₀) / ∀x ∈ I_ε(x₀)-{x₀} si ha

l-ε < f(x) < l+ε

Se lim g(x)=l allora .... ∃ I^l_ε(x₀) / ....... si ha

l-ε < g(x) < l+ε

I(x₀) ∩ I^l(x₀)

∀x ∈ I(x₀) ∩ I^l(x₀) - {x₀} si ha :

l-ε < f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) < l+ε

l-ε < h(x) < l+ε

lim h(x)=l

x->x₀

D_f = {x in R} = R

C_f = {y in R / y 2} = (-infty,1] U (2,+infty)

f(1) = 0 ; f(2) = 4 ; f(-1) = 0 ; f(0) = 1

0 = f(-1,1) ; 1 = f(0)

y = f(x) =

-x² + 1    se x 1

y = ax² + bx + c

(-1,0) ; (1,0) ; (0,1) in P

b = 0

c = 1

a + b + c = 0

b = 0

c = 1

a = -1

m = (4 - 2) / (2 - 1) = 2

r: y - 2 = 2(x - 1)

y = 2x

y = sqrt(|x-1|-2) + sqrt(|x|-1

Df = {x in R / |x-1|-2 >= 0 ^ |x|-1 >= 0}

{ |x-1|-2 >= 0     { |x-1| >= 2

  |x|-1 >= 0        { |x| >= 1

{ x-1 <= -2 V x-1 >= 2

  x <= -1 V x >= 1

{ x <= -1 V x >= 3

  x <= -1 V x >= 1

Df = (-infinity, -1] U [3, +infinity)

y = ln arcsen x

D_f = { x ∈ R / arcsen x > 0 ^ -1 ≤ x ≤ 1 }

{ arcsen x > 0 => 0 < x ≤ 1

-1 ≤ x ≤ 1

0 < x ≤ 1 => D_f = (0,1]

METODO DELLE SECANTI.

Dati f(x) = e^x - 1 + x^2

f(x) = 0 => e^x - 1 + x^2 = 0 => e^x = 1 - x^2 =>

eq. risolutiva { y = e^xy = 1 - x^2

da 2 soluzione:

x₁ = 0x₂ = c con c in [-1,0]

TRACCIAMO IL GRAFICO DI y = f(x)

Tracciamo il grafico di y = f(x) solo per x in [-1, 1/2]

tracciamo la secante AB dove A e B sono i punti della curva corrispondenti agli estremi dell'intervallo Se l'intervallo e [a,b] i punti A e B sono (a,f(a)) ; (b,f(b))

e la retta AB ha equazione

(y - f(a))/(f(b) - f(a)) = (x - a)/(b - a)

individuiamo quindi l'ascissa del punto di intersezione di AB con l'asse x :

(0 - f(a))/(f(b) - f(a)) = (x - a)/(b - a) => x - a = - f(a)/(f(b) - f(a)) (b - a)

=> x₁ = a - f(a)/(f(b) - f(a)) (b - a)

x₁ = (a f(b) - a f(a) - b f(a) + a f(a))/(f(b) - f(a))

x₁ = (a f(b) - b f(a))/(f(b) - f(a))

Determiniamo le coordinate del punto sulla curva di ascissa x₁ :

(x₁, f(x₁))

Se la 2a secante e la retta che passa per (a,f(a)) ; (x₁,f(x₁))

il punto in cui intersecta l'asse x avra ascissa

x₂ = (a f(x₁) - x₁ f(a))/(f(x₁) - f(a))

Sapendo che le secanti successive passavano tutte per (a,f(a)) la successione che converge a c e:

x_n+1 = (a f(x_n) - x_n f(a))/(f(x_n) - f(a))

Se il punto per cui passano tutte le secanti fosse (b,f(b)) la successione che converge a c sarebbe:

x_n+1 = (x_n f(b) - b f(x_n))/(f(b) - f(x_n))