Capire il limite di una funzione dal grafico
limx→x0 f(x) = ℓ x0 deve essere un numero
limx→x0- f(x)
I(x0) = ]a, b[ a < x0 < b x0 sta nell'intervallo
I+(x0) = ]x0, b[ x0 < b Intorno da destra
I-(x0) = ]a, x0[ x0 > a Intorno da sinistra
x0 sta sul bordo dell’intervallo
limx→x0+ f(x) = ℓ ⇒ ∀I(ℓ) ∃I+(x0): x ∈ A ∩ I+(x0) ∖ {x0} ⇒ f(x) ∈ I(ℓ)
Es: f: ]0, +∞[ → ℝ lim log x
limx→x0- f(x) = ℓ ∃ un limite da destra ma 0 già sta sul bordo ⇒ quindi faccio la differenza tra I+ e I- salto con i punti compresi
Teorema
limx→x0- f(x) = ℓ ⟹ limx→x0+ f(x) = limx→x0- f(x) = ℓ
Funzione continua
f: A ⊆ ℝ → ℝ
x0 ∈ A ∩ D x0 appartiene ad A ed è punto di accumulazione
x0 ∈ A ha senso scrivere ⇒ f(x0)
x0 ∈ D ha senso ⇒ limx→x0 f(x)
f è continua in x0 se e solo se ←→ limx→x0 f(x) = f(x0)
Per parlare di continuità x0 deve stare nel dominio
f: (a, b) → ℝ è continua ⇒ il suo grafico è una linea continua
Unisco i punti con una linea continua
Se f sta nell’unione di 2 intervalli: (a, b) ∪ (c, d) → ℝ f continua
I 2 intervalli sono separati
Capire il limite di una funzione dal grafico
limx → x0 f(x) = L % deve essere un numero
I(x0) = ]a, b[ x0 < x < b ⇒ x0 sta nell'intervallo
I+(x0) = ]x0, b[ x0 < b Intorno da destra
I-(x0) = ]a, x0[ x0 > a Intorno da sinistra
limx → x0 f(x) = L ⇔ ∀ I(ε) ∃ I+(x0) : x ∈ A ∩ I+(x0) \ {x0} ⇒ f(x) ∈ I(ε)
Es: f : ]0, +∞) → ℝ lim log x
Teorema
limx → x0- f(x) = L = limx → x0+ f(x) = limx → x0 f(x) = L
Funzione continua
f : A ⊆ ℝ → ℝ x0 ∈ A ∩ D x0 appartiene ad A ed è punto di accumulazione
x0 ∈ A ha senso scrivere ⇒ f(x0)
x0 ∈ D ha senso ⇒ limx → x0 f(x)
f è continua in x0 se e solo se ⇔ limx → x0 f(x) = f(x0)
Per parlare di continuità x0 deve stare nel dominio
f : (a, b) → ℝ è continua ⇒ il suo grafico è una linea continua
Se f sta nell'unione di 2 intervalli : (a, b) ∪ (c, d) → ℝ f continua
I 2 intervalli sono separati
Le successioni
f: IN → IR
lim an n
Ha senso chiedersi come si comporta la funzione?
No perché tutti i punti di IN sono isolati
Solo +∞ è un punto di accumulazione
D = {–2 +∞}
]6, +∞] ∩ IN ≠ ∅
]an, +∞[ ∩ IN ≠ ∅ ∀a ∈ IR
n può tendere solo a +∞ ecco perché non lo scrivo
*lim f(x) = 2 x→1
lim f(x) = +∞ x→1
lim f(x) = 1 x→+∞
lim f(x) = +∞ x→+∞
Ad un certo punto la funzione si infila nei tubi cilindro
lim f(x)=1 x→1-
Il grafico della funzione è un rettangolino
Il punto in cui la funzione assume valore presso +5 questo può uscire
Limite di una funzione
lim f(x) = ℓ x→x0
∀I(Ω) ∃I(x0) se x ∈ I(x0) ∩ I(ℓ) ∀{x0} allora f(x) ∈ I(Ω)
x0 ∈ D
l ∈ IR
(x, f(x0)) ∈ I(x0) × I(Ω)
lim f(x0) x0 ∈ IR
l ∈ IR
I(Ω) =] ℓ – ε, ℓ + ε[
I(x0) =] x0 – δ, x0 + δ [
limx→x0 f(x) = ℓ ⇔ ∀ ε>0 ∃ δ>0: 0<|x-x0|<δ ⇔ x ∈ I(ℓ) ⇒ |f(x)-ℓ|<ε
x0 ∈ ℝ
limx→x0 f(x) = -∞ ⇔ ∀ M>0 ∃ δ>0: 0<|x-x0|<δ ⇔ x ∈ I(ℓ) ⇒ f(x)<-M
x0 = -∞
limx→x0 f(x) = ℓ ⇔ ∀ ε>0 ∃ k>0 ∃ δ>0: 0< x <- k ⇔ x ∈ I(x0) ⇒ |f(x) - ℓ | < ε
y = log x
0 ∉ I(log x)
Vicino a 0 la funzione assume valori sempre più piccoli.
Il grafico da un certo punto entra nel tubo ⇒ da δ in poi
Recap
ℝ: A ⊂ ℝ ⟶ ℝ
La funzione definita in A che ha valori in ℝ
limx→x0 f(x) = ℓ ∈ ℝ ⇔ ∀ I(ℓ) ∃ I(x0): ∀ x ∈ I(x0) ∧ A ∕ {x0} ≠ ∅
x0 ∈ ℝ
Non c'è relazione tra essere x0 punto di A o essere x0 punto di accumulazione.
x0 ∈ A ⇏ x0 p.a.
Es: A = [1, 2] ∪ {3}
3 ∈ A ma 3 è punto isolato
x0 è punto di accumulazione ⇏ x0 ∈ A
Es: A = [1, 2[ 2 accum. ma 2 ∉ A
Proposizione
A = (a, b) ⇒ D = [a, b]
Insieme dei punti di accumulazione
Capire il limite di una funzione dal grafico
limx→x0 f(x) = L
x0 deve essere un numero
(limx→x0- f(x)) limite da sinistra
I(x0) = ]a,b[ ⟺ a < x0 < b x0 sta nell'intervallo
I+(x0) = ]x0, b[ ⟺ x0 < b Intorno da destra
I-(x0) = ]a, x0[ ⟺ x0 > a Intorno da sinistra
I⋅ sta sul bordo dell'intervallo
limx→x0- f(x) = L ⟹ ∀I(ε) ∃I+(x0) : x ∈ A ∩ I+(x0) \ {x0} ⇒ β(x) ∈ I(ε)
Es: β : ]0,+∞[ → ℝ lim log xx→0
È un limite da destra ma 0 già sta sul bordo quindi faccio la differenza tra I+ e I- solo con i punti compresi (?).
Teorema
limx→x0- f(x) = L e limx→x0+ f(x) = L
limx→x0- f(x) = limx→x0+ f(x) = limx→x0 f(x) = L
Funzione continua
f : A ⊆ ℝ → ℝ x0 ∈ A ∩ D x0 appartiene ad A ed è punto di accumulazione
x0 ∈ A ha senso scrivere ⇒ f(x0)
x0 ∈ D ha senso ⇒ limx→x0 f(x)
f è continua in x0 se e solo se ⟺ limx→x0 f(x) = f(x0)
Per parlare di continuità x0 deve stare nel dominio
f : (a, b) → ℝ è continua ⇒ il suo grafico è una linea continua
Unisco i punti con una linea continua
Se f sta nell'unione di 2 intervalli: (a,b) ∪ (c,d) → ℝ f continua
I 2 intervalli sono separati
Funzioni continue e discontinuità
f(x) = ex è una funzione continua?
Sì
Punto da -∞ verso +∞
Parto vicino all'asse delle x
Il lim dell'esponenziale è 0 quando tende a -∞
limx→-∞ ex = 0 → il grafico entra nel tubicino
limx→+∞ ex = +∞ → grafico concentrato in alto a destra
limx→1 ex = e
Perché 1 è nell'insieme di def.
1 è punto di accumulo
E sostituisco ex = e1 = e
Se aggiungo un pallino ho una nuova funzione per intervallo
La funz. tan x è continua nel suo insieme di definizione ⇒ non è continuo però in π/2 poiché non sta nel dominio
La funzione non è continua
limx→π/2 f(x) = 3/7
Come si comporta vicino a π/2? Non c'è un comportamento preciso per cui lim non esiste
limx→π/2⁻ f(x) = +∞
limx→π/2⁺ f(x) = -∞
Lim diversi funzione non continua
Quando una funzione non è continua?
f: A → IR x0∈ A ∩ D
f non è continua in x0
def. f è continua in x0 ⇔ limx→x0 f(x) = f(x0)
Neghiamo
f non è continua in xo ⇉ ∄ limx→xo f(x) oppure ∃ limx→xo f(x) ma ≠ f(xo)
In questa funzione discontinua non sappiamo con precisione che cosa accade
limx→xo⁻ f(x) = 1
limx→xo⁺ f(x) = 1
∃ limx→xo f(x) = 1 ma f(xo) = 2
xo è un punto di discontinuità eliminabile o di 3° specie
E considero:
g(x) = { f(x) quando x ≠ xo l quando x = xo
∃ limx→xo⁻ f(x) ∈ ℝ
∃ limx→xo⁺ f(x) ∈ ℝ
xo è un punto di discontinuità di 1° specie → oppure xo è un punto di salto
|f⁻ - f⁺| è salto
Indica l’ampiezza del salto
+ limiti sono dei numeri
xo è un punto di discontinuità di 2° specie in tutti gli altri casi
- ∃ limx→xo f(x) = ±∞ ∉ ℝ
- ∃x → x0 lim f(x) ∉ ℝ ∃x → x0+ lim f(x) ∉ ℝ e sono diversi l1 ≠ l2
- ∃ x → x0- lim f(x) ∃x → x0+ lim f(x) uno dei due l ∉ ℝ e l'altro l ∈ ℝ
- ∃x → x0 lim f(x) oppure ∃x → x0+ lim f(x)
Teorema di unicità del limite
∃x → x0 lim f(x) => è unico
Dim. = a quello delle successioni
Teorema di continuità delle funzioni elementari
Se f è elementare => f è continua nel suo dominio e significa che f . . . in tutti i punti
Es.: x → √3 lim arctan x = arctan √3 = π/3
Teorema algebra dei limiti
limx → x0 [f(x) + g(x)] = limx → x0 f(x) + limx → x0 g(x) se non è forma indeterminata
Teorema di continuità delle funzioni composte
f : A → ℝ g : B → ℝ Im f ⊆ B => insieme immagine di f deve stare nel dominio B
g o f : x ∈ A → f(x) ∈ B → g (f(x)) ∈ ℝ
f continua in A e g continua in B ⇒ g o f è continua in A
Dim:
Hp1 : f è continua in A => x0∈ A limx → x0 f(x) = f(x0) ⇒ ∀εp > 0 ∃ p : ... f ...
Hp2 : g è continua in B => y0∈ B limy → y0 g(y) = g(y0)
Th: ∀x0 ∈ A limx → x0 g (f(x)) = g (f(x0)) ⇒
② ⇒ ∀εg >0 ∃δg >0: |y-y0| < δg ⇒ |g(y) - g(y0)| < εg
③ ⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 . 1 |x-x0| < δ ⇒ |g(r(x))-g(r(x0))| < ε
Tecnica: Uso def. Dimostro:
Fissato ε >0 devo fornire δ
εg = ε ∃δg :|y-y0| < δg ⇒ |g(y) - g(y0)| < ε
Ma è mia tesi: |g(r(x)) - g(r(x0))|
Uso *ɸ:εɸ = εg ∃δɸ > 0: |x - x0| < δɸ ⇒ |r(x) - r(x0)| < δg
Posso usare come y = r(x) e come y0 = r(x0)
|g(r(x)) - g(r(x0))| < ε
limx → x0 f(x) = l
Teorema dei carabinieri
f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ∀x ∈ A
limx→x0 f(x) = limx→x0 h(x) = l ⇒ ∀ limx→x0 g(x) = l
limx→x0 f(x) = +∞ ...
limx→x0 h(x) = -∞ ...
Teorema permanenza del segno
- limx→x0 f(x) = l > 0 ⇒ ∃I(x0): f(x) > 0 ∀x∈ I(x0) \ {x0}
- Se ∃I(x0): f(x) > 0 ∀x ∈ I(x0) \ {x0}
x0 è un punto di accumulazione
∃limx→x0 f(x) = l ∈ ℝ ⇒ l ≥ 0
Anche se f(x) ≥ 0 può capitare che il lim è 0
Può essere eccezione: costante tranne in x0
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