Funzioni - limiti

I limiti delle funzioni

Gli intorni di un punto

Un intervallo può essere rappresentato in tre modi diversi.

L’intorno completo di un punto

Definizione: Dato un numero reale X si chiama intorno completo di X un qualunque

0, 0

intervallo aperto contenente X.

0 1

¿−

Se X = 1, l’intervallo aperto ]0;3[ è un intorno completo di 1. Anche ]-1;2[ e ; 4

0 2

[ sono intorni completi di 1.

L’intervallo ]0;2[ è un intorno particolare del punto 1, perché 1 rappresenta il punto medio del segmento degli estremi 0 e 2. Un intorno di questo tipo viene chiamato intorno circolare.

Intorno circolare

Definizione: Dato un numero reale X e un numero reale positivo δ, si chiama intorno circolare di X, di raggio δ, l’intorno ]X - δ; X + δ[, in cui X è il punto medio.

0

0 0 0 0

L’intorno destro e l’intorno sinistro di un punto

Dato un intorno in un punto X, talvolta bisogna considerare soltanto la parte dell’intorno che sta a destra di X oppure quella che sta a sinistra. Ad esempio, nell’intorno ]0;2[ del punto 1, la parte destra di 1 è ]1;2[, la parte sinistra di 1 è ]0;1[.

+

In generale, dato un numero δ Є R, chiamiamo:

• Intorno destro di X l’intervallo ]X; X + δ[
• Intorno sinistro di X l’intervallo ]X - δ; X[

 0 0 0

 0 0 0

Punto isolato

Definizione: Se A è un sottoinsieme di R e X è un punto di A, si dice che X è un punto isolato di A se esiste un intorno di X che non contiene elementi di A diversi da X.

0 0

0

X.

0

Se A contiene un numero finito di punti, questi sono tutti isolati.

Punto di accumulazione

C

Definizione: Se A R, X Є R, si dice che X è punto di accumulazione per A se ogni intorno di X contiene infiniti punti di A diversi da X.

0 0

0 0

Ogni punto di un intervallo è di accumulazione per l’intervallo stesso. Anche gli estremi dell’intervallo sono suoi punti di accumulazione.

Limite finito di una funzione in un punto

Definizione f: Sia X appartenente a un intervallo [a; b] e sia una funzione definita in ogni punto di [a; b] tranne al più X. Si dice che la funzione ha per limite il numero reale

0 f(x)

0 ❑

( = l

lim f x)

l x

reale per x che tende a X e si scrive

0 x→x 0

Quando comunque si scelga un numero reale positivo ε si può determinare un intorno completo di X tale che risulti

I

0

| |

( ) − l < ¿

f x ∩

I

ε per ogni x appartenente a [a; b], diverso da X.

0