Geometria - Appunti

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di KEP

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Teoria completa con tutte le dimostrazioni, gli esempi e gli esercizi fatti in aula per l'esame di Geometria della professoressa Cumino con richiami e spiegazioni per una comprensione ottimale. …

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria iv

Dal corso del Prof. Cumino Caterina

Università Politecnico di Torino

A.A. 2009-2010

200 pagine

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Estratto del documento

Vettori

Fisso O (origine).

Fisso l (unità di misura delle lunghezze).

OP segmento orientato di origine O e estremo P: si dice vettore applicato in O.

OP è caratterizzato da:

Direzione: retta passante per O e P.
Verso: orientamento da O verso P.
Modulo (lunghezza di OP): |OP|.

Caso particolare

Se P ≡ O ottengo il vettore OO̅.

|OO̅| = 0.

Direzione indeterminata.

Verso indeterminato.

Due vettori OP̅ e OQ̅ sono uguali quando P = Q.

Nomenclatura

u̅ = OP̅ = u = OP.

OO̅ = 0 vettore nullo.

Caso particolare

Se |u̅| = 1 si dice versore.

Operazioni tra vettori

Somma

PQ̅ = OP̅ + OQ̅ (Regola del parallelogramma).

Casi particolari

OP̅ + OQ̅ = OP̅.
OP̅ ha la stessa direzione di OQ̅.
|OP̅| = |OQ̅|.
Verso opposto.
OP̅ + PQ̅ = 0.
OP̅ si dice opposto di OQ̅ → OQ̅ = -OP̅.

Vettori

Fisso _O (origine).

Fisso l (unità di misura delle lunghezze).

OP segmento orientato di origine _O e estremo _P.

Si dice vettore applicato in _O.

OP è caratterizzato da:

Direzione - retta passante per _O e _P.
Verso - orientamento da _O verso _P.
Modulo (lunghezza di OP): |OP|.

Caso particolare

Se _P è in origine si ottiene il vettore OOOO = 0.

|O| = 0 |P|.

Direzione indeterminato.

Verso indeterminato.

Due vettori OP e OQ sono uguali quando _O=_Q.

Nomenclatura

OP = OP = O = u̅.

OO = OO vettore nullo.

Caso particolare

Se |_i| = 1 si dice versore.

Operazioni tra vettori

Somma

OQ = OP + OQ (regola del parallelogramma).

Casi particolari

OP_i + O_j = OP_m.
OP ha la stessa direzione di OQ.
|OP| = |OQ|.
Verso opposto.
OP + OQ = OP.

OP si dice opposto di OP se OO = -OP.

Proprietà

Dato OP = OQ + QP (Proprietà commutativa).
Dato OR (OP + OQ) + OR = OP + (OQ + OR) (Proprietà associativa).

Conseguenza

Posso sommare OP + OQ + QR + ... + ZN.

Dato OPOP + OQ = OQ + OP.
Dato OP esiste un vettore opposto -OP tale che OP + (-OP) = OQ.

Differenza

Dato OP e OQ.

OP - OQ.

Dipende da (-OQ).

Prodotto di un numero reale per un vettore

Dato OP = v e k∈ℝ.

Stessa direzione di v.
Stesso verso se k>0.
Verso opposto se k<0.
|k v| = |k| |v|.

Se k = 1/2 - 1/2 OP ?

1/2 |OP| = 1/2 |OP|.

Se k = 0.

0 OP = 0 |OP| = 0 => 0 OP = 0.

OP.

Esempi

0w = -OP + OQ.

Trovare un versore che ha la stessa direzione di OP.

Trovare k∈ℝ tale che |k OP| = 1.

|k| |OP| = 1.

|k| = 1 / |OP|.

Proprietà

Dati u̅, a,b∈ℝ.
u̅ ≠ 0̅.
Dato u̅, k∈ℝ.
Dati u̅,a,b∈ℝ.

Combinazione lineare dei vettori

Si dice combinazione lineare di z̅₁, z̅₂ coefficiente a₁,a₂ ∈ℝ il vettore z̅ = a₁ z̅₁ + a₂ z̅₂.

Si dice z̅ un vettore complanare ai vettori di partenza.

Sistemi di riferimento

Sistema di riferimento cartesiano monometrico ortogonale R(O,x,y,z).

(1, 0, 0) →₁ versore dell'asse delle x.

(0, 1, 0) →₂ y.

(0,

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