Fenomeni ondulatori - Formulazione con i potenziali

Formulazione con i potenziali

Formulazione con potenziali

Ora cerchiamo una soluzione generale alle equazioni di Maxwell. Dati i campi e, quali sono i campi e? Nel caso statico, la risposta è data dalla legge di Coulomb e la legge di Biot-Savart, ma noi vogliamo la risposta nel caso di configurazioni di carica dipendenti dal tempo. Il problema non è semplice, e conviene rappresentare i due campi in termini di potenziali.

In elettrostatica scrivevamo , ma in elettrodinamica non è più possibile perché il rotore di E non è zero. Da si nota che B è solenoidale, quindi può essere espresso mediante il rotore di un potenziale vettore: Sostituiamo in : Poniamo quindi Quindi è un campo potenziale, per cui esiste , con continua e derivabile, tale che Inserendo le equazioni e nel sistema si nota che e sono soddisfatte, dalle altre si ottengono:

Le due equazioni trovate non si presentano in una buona forma, ma siamo passati dal dover risolvere sei equazioni per trovare E e B (tre componenti ciascuno) a quattro equazioni. e non definiscono univocamente i potenziali; siamo liberi di imporre condizioni extra su e senza che E e B varino. Sia continua e derivabile tale che: Dimostro che i campi dati da questi due potenziali sono uguali a quelli precedenti.

Gauge di Lorenz

Ora scegliamo tale che Abbiamo ottenuto due equazioni delle onde non omogenee.

Formule di Green

Scriviamo ora la formulazione del teorema della divergenza: Per ogni possiamo trovare e continue e derivabili tale che: In questo modo riduciamo il problema a due sole variabili, poiché e sono scalari. Riscriviamo quindi:

Prima formula di Green: Se posso ottenere : Sottraendo membro a membro alla prima formula di Green si ottiene:

Seconda formula di Green

Tornando ai potenziali, abbiamo trovato che obbediscono alle equazioni: Queste possono essere generalizzate come: , dove g rappresenta il termine di sorgente. Supponiamo ora che abbia un andamento oscillante, e quindi facciamo un'ipotesi ondulatoria sulla soluzione, quindi il potenziale che stiamo cercando si può scrivere nella forma Sostituendo si ottiene: Abbiamo ottenuto un'equazione differenziale del secondo ordine con termine noto. Scriviamo l'omogenea associata:

Equazione di Helmotz

Supponiamo ora che il problema abbia una simmetria sferica, quindi Quindi la soluzione dell'omogenea associata è del tipo: Immaginiamo ora che la posizione della sorgente sia identificata dal vettore posizione e il punto in cui vogliamo calcolare il potenziale dal vettore posizione Consideriamo una sfera di raggio centrata in che non include la sorgente e chiamiamo la sua superficie.