Fenomeni ondulatori - Esercitazioni 4

4. Ottica geometrica

4.1 Introduzione

Trattiamo onde elettromagnetiche corrispondenti alla luce visibile (lunghezza d'onda compresa tra i 400 nm e i 700 nm). Supponiamo che la dimensione tipica degli oggetti materiali con cui la luce interagisce sia molto maggiore della lunghezza d'onda.

Definiamo raggi le curve costruite tali che sia tangente a esse. Nell'ottica geometrica ci si preoccupa della geometria dei raggi, senza soffermarsi sulla natura ondulatoria.

Sorgenti luminose:

L'oggetto colpito dalla luce la diffonde in tutte le direzioni, quindi viene considerato a sua volta una sorgente luminosa.

Ma come facciamo a vedere gli oggetti? L'immagine di un oggetto è visibile se i raggi captati dall'occhio divergono dalla sorgente.

4.2 Formazione delle immagini da uno specchio piano

Consideriamo uno specchio, cioè una superficie riflettente, quindi con coefficiente di trasmissione nullo, e coefficiente di riflessione pari a 1.

Un'immagine si dice virtuale quando si forma tramite i prolungamenti dei raggi percepiti dall'osservatore.

L'immagine formata da uno specchio piano è un'immagine virtuale. Inoltre immagine e oggetto si trovano in posizioni simmetriche rispetto allo specchio.

4. Ottica geometrica

4.1 Introduzione

Trattiamo onde elettromagnetiche corrispondenti alla luce visibile (lunghezza d'onda compresa tra i 400 nm e i 700 nm).

Supponiamo che la dimensione tipica degli oggetti materiali con cui la luce interagisce sia molto maggiore della lunghezza d'onda.

Definiamo raggi le curve costruite tali che sia tangente a esse.

Nell'ottica geometrica ci si preoccupa della geometria dei raggi, senza soffermarsi sulla natura ondulatoria.

Sorgenti luminose:

L'oggetto colpito dalla luce la diffonde in tutte le direzioni, quindi viene considerato a sua volta una sorgente luminosa.

Ma come facciamo a vedere gli oggetti?

L'immagine di un oggetto è visibile se i raggi captati dall'occhio divergono dalla sorgente.

4.2 Formazione delle immagini da uno specchio piano

Consideriamo uno specchio, cioè una superficie riflettente, quindi con coefficiente di trasmissione nullo, e coefficiente di riflessione pari a 1.

Un'immagine si dice virtuale quando si forma tramite i prolungamenti dei raggi percepiti dall'osservatore.

L'immagine formata da uno specchio piano è un'immagine virtuale. Inoltre immagine e oggetto si trovano in posizioni simmetriche rispetto allo specchio.

4.3 Specchi sferici

Supponiamo che sia d << R (curvatura piccola).

Con questa approssimazione le immagini che produce lo specchio non risultano troppo distorte.

Teorema

Se d << R, i raggi che escono da un oggetto puntiforme dopo essere riflessi dallo specchio sferico convergono in un unico punto immagine.

Nel caso particolare in cui il punto immagine è all'infinito i raggi sono paralleli.

Consideriamo un oggetto che emette luce a distanza grande, con asse parallelo all'asse ottico.

Vale la legge della riflessione: Θ_i = Θ_R = Θε = R sen Θ → R sen Θ << R poiché ε << Rsen Θ &approx; Θ → Θ << 1 rad

Chiamiamo F il punto di intersezione del raggio riflesso e dell'asse ottico. Il triangolo CBF è isoscele, con base CB e altezza FH.

CH = CF cosΘ = ¹/₂ CB = ^R/₂ → CF = ^R/_2cosΘ

Sviluppiamo cosΘ attorno a Θ = 0:

cosΘ = 1 - ^Θ2/₂ + o(Θ³) ≈ 1→ CF ≈ R₂

FA = CA - CF ≈ ^R/₂

Quindi F è circa il punto medio del segmento CA.

Se scegliamo un raggio parassiale differente, Θ cambia, ma il nuovo raggio riflesso passa nuovamente per il punto F.

Quindi il risultato è indipendente da Θ (Θ << 1 rad), ossia tutti i raggi parassiali riflessi passano per il punto F detto fuoco (nel fuoco si concentra l'energia, quindi un oggetto che si trova in F si riscalda).

La distanza f = FA è detta distanza focale, f = R/2

Vale anche il contrario cioè, se un raggio passa dal fuoco viene riflesso parallelamente all'asse.

La condizione d << R si può sostituire considerando come calotta la calotta di un paraboloide

Per costruire l'immagine di O' basta considerare solo l’intersezione di due raggi (per il teorema tutti i raggi convergono nello stesso punto).

I triangoli OO'A e II'A sono simili: _OO'/_II' = _OA/_IA (⇔) _ho/-_hi = _do/_di (1)

I triangoli OO'F e FAB (stiamo supponendo che la curvatura dello specchio sia piccola) sono simili:

_OO'/_AB = _OF/_FA (⇔) -_ho = _do - f / f (3)

Unendo le due relazioni: _do/_di = _do - f / f = _do/-1 (3)

Dividiamo la (3) per d_o:

1/_di = 1/f - 1/d_o ⇔1/d_o + 1/d_i = 1/f (4) equazione dello specchio

O e I sono detti punti coniugati, e le loro distanze dal centro dello specchio sono legate dalla (4)

Definiamo ingrandimento dello specchio la quantità m := _hi/_ho. Per uno specchio piano m = 1.

• M > 0: immagine diritta
• M < 0: immagine ribaltata
• |m| > 1: immagine ingrandita
• |m| < 1: immagine rimpicciolita

Quindi dalla (1): -_di/_do ⇒ m = -_di/_do (5)

Dalla (4) si evince una simmetria tra d_i e d_o: scambiare immagine e oggetto non cambia nulla.

Analizziamo ora alcuni casi particolari.

4.4 Oggetto in C

Sostituendo nella ₍₄₎: Quindi l'immagine si forma nel centro di curvatura.

₍₅₎: Quindi l'immagine appare ribaltata, ma ha le stesse dimensioni dell'oggetto.

In questo caso l'immagine non si costruisce con i prolungamenti dei raggi, ma con i raggi stessi. Si tratta quindi di un'immagine reale, non virtuale.

4.5 Oggetto tra C e F

Spostiamo ora l'oggetto tra il centro e il fuoco. Ciò significa che si riduce, quindi aumenta

₍₄₎ diminuisce=> aumenta

quindi dalla ₍₅₎ aumenta

4.6 Oggetto nel fuoco

₍₄₎ => Mettendo l'oggetto nel fuoco l'immagine si forma all'infinito

In questo caso è necessario introdurre un nuovo concetto di ingrandimento

Vale anche il viceversa di quanto detto prima, cioè, se un oggetto è all'infinito, l'immagine si forma nel fuoco dello specchio.

4.7 Oggetto tra F e A

Si forma un'immagine virtuale, non reale.

(5) m > 0 Immagine dritta e ingrandita

m = - _QI/_QO = - _f/_do-f = _f/_f-do > 1

do < f

₁/_di = ₁/_f - ₁/_do

5. Lenti

5.1 Intro lenti

Le lenti sono costituite da un materiale dielettrico delimitato da due calotte sferiche.

Supponiamo di aver a che fare con lenti sottili, quindi con curvatura poco accentuata, cioè D << R1, R2.

• Lente convergente:
• Lente divergente:
• Menisco:

Consideriamo il fascio di luce incidente in A e trascuriamo l’onda riflessa. Il raggio incidente forma un angolo θ₁ con R1, mentre l’onda trasmessa, che passa per B, forma un angolo θ₃ con R1, e poi viene nuovamente rifratto e passa per il fuoco F.

Supponiamo di aver a che fare con lenti sottili tali che θ₁, θ₂ << 1 rad

La legge di Snell diventa: θ₁ ≃ n θ₂ → θ₂ ≃ θ₁/_n (a)

Consideriamo l’angolo θ₃ formato dall’intersezione tra il raggio rifratto nella lente e R2, e l’angolo θ₄ formato dall’intersezione dello stesso raggio che viene nuovamente rifratto ed R2.

n θ₃ ≃ θ₄ → θ₃ ≃ θ₄/_n (b)

Vogliamo mostrare che un fascio di raggi paralleli converge in F, e calcolare la distanza focale.

Tracciamo le rette parallele all’asse ottico passanti per i punti A e B.

Chiamiamo σ formato dall’intersezione della retta passante per A e il raggio rifratto nella lente. Questo angolo sarà uguale a quello formato dallo stesso raggio con la retta passante per B.

Definiamo α l’angolo formato dall’intersezione tra la retta passante per B ed R2.

θ₁ = θ₂ + τθ₃ = σ + α → θ₁ - θ₃ = θ₂ - α → θ₁ - θ₃ = θ₁/_n - α (c)

Definiamo β l’angolo formato dall’intersezione del raggio rifratto in aria e la retta passante per B:

θ₄ = ν + β (d)

θ₁ - α + β = θ₁/_n - α (e)

Consideriamo ora i seguenti triangoli:

A_H1C₁ : A_H1 = R₁sinθ₁ ≃ R₁θ₁ → θ₁ = A_H1/R₁

C₁B₂ : B_H2 = R₂sinα ≃ R₁α → α = B_H1/R₂

B_H2F : H_F = ƒ ≃ _{ν CF} da hp lente sottile

B_H2/ƒ = tanβ ≃ β

Equazione del costruttore di lenti

Poiché il valore di f non dipende da quanto il raggio incidente dista dall'asse ottico, allora un fascio si raggi paralleli all'asse ottico, dopo aver attraversato la lente, passerà per un unico punto F. cvd

L'equazione è invariante per scambio di R1 ed R2, quindi possiamo girare la lente al contrario senza che cambi la distanza focale.

5.2 Oggetto al di là del fuoco

I triangoli:

OO'C e CII' sono simili

Equazione delle lenti sottili

Definiamo l'ingrandimento come

5.3 Lenti di ingrandimento

Come funziona l'occhio umano?

Il cristallino fa convergere i raggi sulla retina, un sensore che manda l'immagine al cervello. Il cristallino è in grado di variare la propria forma.

Un occhio "buono" quando rilassato mette a fuoco gli oggetti all'infinito, ma c'è una distanza minima che deve avere l'oggetto dall'occhio affinché la deformazione del cristallino consenta di far convergere i raggi sulla retina e avere una visione chiara dell'oggetto. Questa distanza è detta distanza prossima, N.

Quando si utilizza una lente d'ingrandimento l'oggetto deve essere posto in corrispondenza del fuoco.

Essendo l'immagine virtuale, è più utile il concetto di ingrandimento angolare.

Quindi, non confrontiamo _i e _o, ma l'angolo sotto il quale vediamo l'oggetto e l'angolo sotto lo il quale vediamo l'immagine.

Ingrandimento angolare: ₌