Fenomeni ondulatori - Esercitazioni 1

Onde

In molti casi in cui si ha una propagazione di un'onda, essa si può descrivere con le equazioni di d'Alembert: se per determinarle occorre conoscere e all'istante iniziale e le condizioni al bordo. Le soluzioni più semplici dell'equazione di d'Alembert sono quelle armoniche e, essendo l'equazione lineare a coefficienti costanti, la somma di due soluzioni è ancora soluzione.

Onde sonore

Le onde sonore si propagano all'interno di un fluido comprimibile. Possiamo scrivere:

• Equazione di continuità
• Equazione di Eulero

Riscriviamo l'equazione di continuità: per un fluido incomprimibile è costante lungo il movimento degli elementini fluidi, quindi abbiamo ora un sistema di quattro equazioni e cinque incognite: introduciamo, quindi, un'equazione costitutiva nella forma e supponiamo che tale relazione sia monotona crescente, cioè consideriamo uno strato di fluido imperturbato (quindi una configurazione di equilibrio) per cui valga: verifichiamo che il sistema sia soddisfatto.

Ora sovrapponiamo all'equilibrio una perturbazione di piccola ampiezza: piccolo (vogliamo v₁ piccola ma per ora è un'idea vaga perché non sappiamo con cosa confrontarla). Sviluppiamo intorno al valore fino al primo ordine: risulta che le variazioni di pressione e di densità sono direttamente proporzionali tra loro. Dimensionalmente si trova:

Definiamo la velocità del suono, quindi e il sistema diventa: da qui si può mostrare che le perturbazioni soddisfano un'equazione tipo d'Alembert. Deriviamo rispetto al tempo: Chiamiamo velocità del suono perché è quella che compare nell'equazione di d'Alembert come velocità di propagazione della perturbazione. Le onde sonore sono onde compressive cioè il suono viene propagato tramite compressioni di fluido perché la densità varia. Ora moltiplichiamo per anche le variazioni di pressione si propagano con l'equazione di d'Alembert. Applichiamo ora l'operatore di divergenza all'equazione di Eulero linearizzata: deriviamo rispetto al tempo: quindi anche soddisfa un'equazione di d'Alembert, cioè si propaga come se fosse un'onda. Questo risultato non è strano poiché una variazione di pressione è legato a espansioni o compressioni del fluido (date da ).

Gas perfetto

Dato un volume di gas all'equilibrio, con tutti i punti alla stessa pressione e in equilibrio termico, si può scrivere un'equazione di stato: ora dobbiamo esprimere la relazione in modo da dare alle grandezze la possibilità...