Fenomeni ondulatori - equazione d'onda

1. Equazione d'onda

1.1 Equazione d'onda per la corda vibrante

Consideriamo una corda inestensibile e di massa trascurabile tesa, con gli estremi molto lontani, e la perturbiamo leggermente:

Scattiamo una foto in un tempo t*; a questo tempo fissato la corda obbedisce a una equazione del tipo y(x,t*).

Vogliamo trovare y(x,t) ∀ x e ∀ t.

La corda inestensibile: |T_A| = |T_B| = T (hanno punti di applicazione infinitesimamente vicini)

\(\vec{F} = m\vec{a} = \vec{T}_{A} + \vec{T}_{B}\)

Posto α l'angolo più piccolo che la forza fa con l'orizzontale

α(x) = α(x+Δx), dx→0

Prendo un triangolo con un vertice nel punto di applicazione di \(\vec{T}_{A}\)

quindi risulta: tanα = \(\frac{dy}{dx}\)

Teoria perturbativa: la botta che diamo alla corda è piccola, quindi α→0

1. Equazione d'onda

1.1 Equazione d'onda per la corda vibrante

Consideriamo una corda inestensibile e di massa trascurabile tesa, con gli estremi molto lontani, e la perturbiamo leggermente:

Scattiamo una foto in un tempo t*; a questo tempo fissato la corda obbedisce a una equazione del tipo y(x,t*).

Vogliamo trovare y(x,t) ∀ x e ∀ t.

Scegliamo due punti A e B lungo la corda a distanza dx uno dall'altro, in modo che l’arco di che li congiunge possa essere approssimato a un segmento di retta.

La corda è inestensibile: |T_A| = |T_B| = T (hanno punti di applicazione infinitesimamente vicini)

F = ma = T_A + T_B

Posto α l’angolo più piccolo che la forza fa con l’orizzontale

α(x) = α(x+Δx), Δx→0

Prendo un triangolo con un vertice nel punto di applicazione di T_A

quindi risulta: tan α = dy⁄dx

Teoria perturbativa: la botta che diamo alla corda è piccola, quindi α→0

Calcoliamo ora

dF_x = T_A x̂ + T_B x̂ = - T cos α(x) + T cos α(x + dx) == T [cos α(x + dx) - cos α(x)] ≃^*≃ T ( - α '²(x) - α '(x)) /2 - dx dx

dF_y = T_A ẏ + T_B ẏ = - T sin α(x) + T sin α(x + dx) == T [sin α(x + dx)] + sin α(x)] ≃^*≃ T (α(x + dx) - α(x)) = T Δα = T \(dx/dx)

La corda può essere vista come un insieme di punti discreti; quindi possiamo definire una densità lineare di massa:

μ = dm/dl

Per ogni elemento si ha:

dF = ā dm = ā μ dl , ā = (∂² x /∂t² , ∂² y /∂t² )

dF_x = 0 =  (∂² x /∂t²) = 0

dF_y = μ a_y dl = μ ∂² y/ ∂t² dT ∂α ∂x =  μ/T dθ = ∂²y/^∂t2 = dx/dx

α = tan α = ∂y/∂x μ/T dθ ∂² y dℓ² y dx = √ dx² + dy² = dx ∂² y/∂t²

(∂² y/∂x² )(∂² y/∂t² ) - μ/T ∂² y/∂t² = 0

Equazione di d'Alembert per la corda vibrante

La soluzione è del tipo y = y(x, t) e il termine Analisi dimensionale: v/√(∂² + velocità con cui si propaga la perturbazione

Soluzioni dell'equazione d'onda

Generalizziamo l’equazione di d’Alembert per f(x,t):

_{∂²f/∂t² - v²∂²f/∂x² = 0 ⇒ (∂²/∂t² - v²∂²/∂x²) f = 0 ⇒ □f = 0}

Proprietà:

• Linearità: se f₁, f₂: □f₁ = 0, □f₂ = 0, allora □ (f₁ + f₂) = 0, possiamo dunque sovrapporre soluzioni
• Prodotto per una costante: se □f = 0, allora □(κ f) = 0 ∀ κ ∈ R

Proprietà delle caratteristiche:

(∂/_∂t + v_∂/_∂x)(∂/_∂t - v_∂/_∂x) f = 0 ⇒[...]

Introduciamo una trasformazione di variabili

β = x - vt

η = x + vt

[...]

Ogni volta che f è soluzione la posso sdoppiare così:

f(x,t) = f(β, η) = F(β) + G(η)

□ f(β, η) =[...]

Posso scrivere:

f(x,t) = F(x - vt) + G(x + vt)

x ± vt = cost

equazione delle caratteristiche

Supponiamo di avere \(F(x-vt)\), allora per t* fissato corrisponde x* = vt* e avremo quindi: \(x* = x+vt*\) che corrisponde a una traslazione.

Dunque, le soluzioni funzioni di \(x±vt\) cambiano nel tempo traslando il loro grafico

F(x-vt): traslazione rigida verso destra

G(x+vt): traslazione rigida verso sinistra

1.3 Soluzioni armoniche

Sono dette armoniche le soluzioni del tipo: \(f(x,t) = A \cos \left[k(x-vt) + \varphi \right]\)

Verifichiamo che soddisfano d’Alembert:

\(\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} - v^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \left[-A \sin \left[k(x-vt)+\varphi \right](-kv)\right](-v) -v^2 \frac{\partial}{\partial x} \left\{-A \sin \left[k(x-vt)+\varphi \right]k \right\} = = A \cos \left[k(x-vt)+\varphi \right]k^2v^2 + v^2 A \cos \left[k(x-vt)+\varphi \right]k^2 = 0

Per t fissato:

\(\cos\alpha - \cos\alpha = 0 \alpha_x - \alpha_x = 2\pi k(x_1-vt)+\varphi - k(x_1-vt)+\varphi = 2\pi\)

\(k(x_1-x_1) = 2\pi \rightarrow k = \frac{2\pi}{x_1-x_1} = \frac{2\pi}{\lambda}\)

Chiamiamo k vettore d'onda e λ lunghezza d’onda.

Ora, fissando x e variando t:

Definiamo:

• Periodo \(T = \frac{2\pi}{(kv)}\)
• Velocità angolare \(\omega = kv\)
• Frequenza \(\nu = \frac{1}{T} = \frac{kv}{2\pi} = \frac{v}{\lambda} = \frac{\omega}{2\pi}\)

Formula di Eulero

e^iθ = cosθ + isinθ | e^iθ | = 1

e^-iθ = cos(-θ) + isin(-θ) = cosθ - isinθ

z = x + iy = Ae^iθ

z' = ze^iφ = Ae^iθ e^iφ = Ae^i(θ+φ)

Possiamo riscrivere la soluzione armonica:

f(x,t) = A cos(kx - ωt + φ) = Re (Ae^i(kx-ωt+φ)) = Re (Ae^iφ e^i(kx-ωt)) = Re (A' e^i(kx-ωt))

e anche in questa forma deve soddisfare d'Alembert

(∂²f / ∂t²) = ∂ / ∂x {Re [A' (iω) e^i(kx-ωt)] } = Re { - A' ω² e^i(kx-ωt) }

∂ / ∂x {Re [A' (ik) e^i(kx-ωt)] } = Re {- A' k² e^i(kx-ωt) }

(v²k² - ω²) Re (A' e^i(kx-ωt)) = 0

= 0

Abbiamo così ottenuto la relazione di dispersione ω = ± kv.

1.4 Soluzioni in più dimensioni e in coordinate sferiche

∇²f(x̅,t) - 1 / v² ∂² / ∂t² f(x̅,t) = 0

Definiamo fronte d'onda il luogo dei punti in cui la funzione assume lo stesso valore

• In 1D è un punto
• In 2D è una retta
• In 3D è un piano

|A| cos (kx̅·r̅ - ωt + φ) = cos t ⇒ k̅ · r̅ - ωt + φ = cos t ⇒ k̅·r̅ = cos t = c

kx · x + ky · y + kz · z = c

∂c / ∂x = kx

∂c / ∂y = ky

∂c / ∂z = kz

Immaginiamo di fare due foto successive mentre il fronte d'onda si sta spostando. Troviamo la velocità di fase, cioè la velocità con cui si sposta il piano.

Troviamo la distanza minima tra i due piani:

{ v_xx + v_yy + k_z z − ωt₁ + φ = c₁ v_xx + v_yy + k_z z − ωt₂ + φ = c₂

La distanza minima tra questi due piani paralleli può essere trovata parametrizzando la retta normale a entrambi.

{ ax + by + cz = d₁ ax + by + cz = d₂ x = aγ y = bγ z = cγ { a²γ₁ + b²γ₁ + c²γ₁ = d₁ a²γ₂ + b²γ₂ + c²γ₂ = d₂ → { γ₁ = d₁ / (a²+ b²+ c²) γ₂ = d₂ / (a²+ b²+ c²) Δ = √ (x₁−x₂)² + (y₁−y₂)² + (z₂−z₁)² = √ (aγ₁−aγ₂)² + (bγ₂−bγ₁)² + (cγ₁−cγ₂)² = |γ₂−γ₁|√ a²+ b²+ c² = |d₂− d₁ | / √ a²+ b²+ c² = |ωt₂−t₁| / |k| V_f = Δ/dt = ω/|k|

Ora generalizziamo d'Alembert a un sistema di coordinate sferiche

x = r senθ cosφ y = r senθ senφ z = r cosθ

r = √ x²+ y² + z² θ = arctan(z/ √x² + y²) φ = arctan( y/ x )

Ragioniamo su ∂²f/ ∂x² = f = ∂/ ∂x ( ∂f/ ∂x )

∂f/∂x = ∂f/∂x∂x/∂x + ∂f/∂y∂y/∂x + ∂f/∂z∂z/∂x ∂x/∂x = senθcosφ ∂x/∂x = cosθcosφ/r ∂φ/∂x = −senφ/rsenθ