Fenomeni ondulatori - esercitazioni 2

Onde di gravità

Onde in un fluido incomprimibile soggetto alla forza di gravità

Stiamo considerando un fluido incomprimibile per semplificare il problema, infatti in questo modo eliminiamo la possibilità di avere onde sonore.

Scriviamo l'equazione di continuità:

Derivata materiale: Consideriamo il moto di un volumetto:

• dm rimane lo stesso (considero sempre lo stesso volumetto)
• Il fluido è incomprimibile, quindi dV non varia
• La densità non varia per un particolare volumetto, quindi questa equazione sostituisce l'equazione costitutiva utilizzata nelle onde sonore

Scriviamo l'equazione di Eulero: Abbiamo quindi un sistema di cinque incognite e cinque equazioni.

Consideriamo la configurazione di equilibrio: Sostituiamo nel sistema: esprime il bilancio tra la forza dovuta al gradiente di pressione e la forza peso.

Introduciamo una perturbazione tale che (è come se stessimo selezionando onde piane), e supponiamo che cerchiamo soluzioni del tipo:

Supponiamo perturbazioni di piccola ampiezza. Sostituiamo nel sistema e linearizziamo le equazioni ottenute eliminando i termini del secondo ordine: Abbiamo ottenuto un sistema di equazioni lineari a coefficienti non costanti, poiché.

Notiamo che rispetto alle variabili x e t è costante, quindi possiamo cercare soluzioni armoniche solo nella dipendenza da x e t: Le ampiezze complesse quindi non sono costanti, ma sono modulate con l'altezza.

Facciamo lo stesso con le altre grandezze perturbate: Sostituiamo ora nel sistema ricordando che: Ora abbiamo ottenuto un sistema di equazioni differenziali ordinarie che conviene risolvere tenendo tutto nell'incognita.

Sostituiamo nella: Abbiamo ottenuto un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine a coefficienti non costanti. Dobbiamo ora decidere quali siano i bordi del nostro dominio e fissare le condizioni ai bordi.

Onde di superficie

Immaginiamo ora che il fluido sia talmente esteso che, cioè che il fluido sia infinitamente alto e infinitamente profondo. Imponiamo che per (se così non fosse l'onda perturbativa avrebbe un'energia infinita). Quindi: Si può dimostrare che con queste condizioni al bordo la soluzione esiste ed è unica.

Ci mettiamo in un caso particolare, quello delle onde di superficie. In generale, un'onda di superficie si sviluppa sulla superficie di separazione di due fluidi, come la superficie di contatto fra l'acqua del mare e l'atmosfera. Supponiamo quindi di avere due fluidi sovrapposti con densità diverse e costanti. Gestire la discontinuità presente in z = 0. È possibile che questa discontinuità...