Fenomeni ondulatori - esercitazioni 3

Rifrazione e riflessione

Consideriamo una superficie piana che separa due materiali con costante dielettrica differente. Immaginiamo un'onda incidente, con un vettore d'onda ben definito, che proviene da molto lontano (così da poterla approssimare a un'onda piana) e incide sulla superficie di separazione dei due dielettrici. A questo punto si visualizzano due onde: una trasmessa e una riflessa. Studiamo la situazione nel caso più generale.

Caso generale

Ricaviamo le equazioni delle due onde a partire dalle equazioni di Maxwell. Partiamo dalla legge di Faraday: integriamo sulla superficie S che supponiamo fissa e come la superficie di un rettangolo che mettiamo a cavallo della superficie di separazione:

Dal teorema del valor medio sappiamo che l'integrale di una funzione su un dominio è pari al prodotto del valor medio della funzione per l'ampiezza del dominio, quindi:

Facciamo il i valori medi diventano valori puntuali. Quindi, punto per punto, sulla superficie di separazione vale che consideriamo ora la legge di Gauss in presenza di dielettrici: integrando su una superficie S chiusa si ha

Scegliamo come superficie S una superficie cilindrica a cavallo della superficie di separazione dei dielettrici e supponiamo che non ci siano cariche libere:

Facciamo il Facciamo il Supponiamo di aver a che fare con dielettrici lineari:

Analogamente, con le altre equazioni di Maxwell otteniamo:

Hp: Facciamo il Facciamo il Abbiamo trovato quindi che tutte le componenti sono continue tranne la componente perpendicolare del campo elettrico che soddisfa la .

Ora scegliamo un sistema di riferimento in modo che il vettore d'onda dell'onda incidente giaccia nel piano xy, che definiamo piano di incidenza (contiene il vettore d'onda dell'onda incidente e la normale alla superficie di separazione). Scriviamo quindi:

Scriviamo i campi elettrici delle varie onde: Consideriamo la e scriviamola esplicitamente, scegliendo come componente quella lungo x (avremmo potuto scegliere anche quella lungo z). (per y = 0 perché siamo sulla superficie di separazione)

Capiamo che il secondo membro non può dipendere da z: Di conseguenza, tutti e tre i vettori d'onda sono contenuti nel piano di incidenza.

Ora, considerando che la dipendenza da x e t è di tipo oscillatoria: Le oscillazioni devono essere uguali punto per punto ( ). Di conseguenza: Ragionando analogamente si trova

Definizione degli angoli

• Angolo di incidenza (l'angolo che forma con la normale alla superficie di separazione)
• Angolo di riflessione
• Angolo di trasmissione

Consideriamo le uguaglianze che riguardano...