Domande e risposte dai professori per affrontare l'orale di Algebra lineare e matematica discreta

Raccolta delle domande tipiche

Esame di Algebra lineare e Matematica discreta

UNICAL

Università della Calabria

Professori

Yaroslav Sergeyev | Dimitri Kvasov | Francesco Liguori | Domenico Magisano

Introduzione

In questo file ho raccolto, unito, organizzato e sviluppato le domande tipicamente esposte dai Professori. Si consiglia ugualmente di approfondire le dimostrazioni attraverso i materiali ufficialmente forniti.

Domande e risposte

Insiemistica fondamentale

L’Insiemistica è la parte della matematica che si occupa dello studio degli insiemi, delle loro proprietà, relazioni e operazioni.

Un insieme è una collezione ben definita di oggetti, detti elementi, che hanno una o più proprietà in comune. Gli elementi possono essere: numeri, lettere, persone, oggetti, etc. Il loro ordine non conta e non si ripetono.

Un rapido esempio

Un esempio rapido potrebbe essere l’insieme delle vocali italiane: per cui per ogni elemento � = {�, �, �, �, �} dell’insieme avremo una ed una sola occorrenza. Inoltre l’insieme o in altro ordine sarebbe del tutto � = {�, �, �, �, �} identico!

Le notazioni dell’Insiemistica

È possibile rappresentare gli insiemi mediante tre notazioni differenti:

1. Elencazione (Notazione Estensiva): Tutti gli elementi dell’insieme X saranno tra parentesi graffe → � = {�, �, �, �, �}
2. Proprietà Caratteristica (Notazione Intensiva): Si descrive matematicamente la proprietà che accomuna gli elementi → � = {� ∈ �|[�. ����] & [� < ��]} C R Q Z
3. Diagrammi di Eulero-Venn: Rappresentazione attraverso cerchi che mostrano N le relazioni tra gli insiemi →

Nell’esempio ricordiamo che:

• C: Numeri Complessi: (Numeri che includono una parte immaginaria)
• R: Numeri Reali: (Numeri Razionali e Irrazionali, dunque Q e Z)
• Q: Numeri Razionali: (Che possono essere espressi come frazioni... 1/2, 1/3, ...)
• Z: Numeri Interi: (Valori Positivi/Negativi e Zero Incluso)
• N: Numeri Naturali: (0, 1, 2, 3, 4, ...)

Tipologia di insiemi

Gli insiemi possono assumere diverse caratteristiche distinguendosi in:

• Insieme Finito: Ha un numero (ed un range) limitato di elementi: � = {�, �, �}
• Insieme Infinito: Ha infiniti elementi al suo interno: � = {�, �, �, . . . }
• Insieme Vuoto: � = ∅
• Sotto-insieme: È un insieme i cui elementi tutti sono inclusi in un insieme più grande. Ad esempio potrebbe � ⊆ � essere {�, �} ⊆ {�, �, �}

Operazioni tra gli insiemi

• Unione: Tutti gli elementi di due insiemi (comuni e non comuni, presi una sola volta) si uniscono → � ∪ �
• Intersezione: L’insieme generato comprende solo gli elementi comuni tra i due insiemi di partenza → � ∩ �
• Differenza: L’insieme generato comprende solo gli elementi di A che non sono presenti in B → (oppure A \ B) � − �

Altri concetti importanti

• Cardinalità: Numero di Elementi dell’insieme nonché sua Dimensione.
• Appartenenza: significa che x è elemento dell’insieme A � ∈ �
• Relazioni e Funzioni: Sono concetti che nascono proprio dall’insiemistica e si usano in Algebra e Analisi.
• Sezioni di Dedekind: Strumento per definire rigorosamente i numeri reali come insiemi di razionali che “tagliano” ℝ la retta in un punto non razionale.
• Relazione di Equivalenza: Una relazione su un insieme è di equivalenza se:

∼ Riflessiva: �∼�

Simmetrica: �∼� ⇒ �∼�

Transitiva: � ∼ �� � ∼ � ⇒ � ∼ �

• Sistemi di Generatori: Un insieme di vettori è un sistema di generatori se qualsiasi vettore è {� } ∈ ��� � combinazione lineare di tutti i vettori di V.

Esempio: R² : V: {(1,0), (0,1)} dato x = (3,2) è un Sistema di generatori poiché ogni xi si può ottenere a partire dai due vettori v1, v2. Difatti ottengo (3,2) osservando {a •v + ... + a •v } per cui 3(1,0) + 2(0,1) = (3,0) + (0,2) = (3,2) 1 1 n n

• Dipendenza Lineare: Si dice essere linearmente dipendente un vettore che è possibile esprimere come combinazione lineare di almeno un altro vettore appartenente allo stesso insieme.

Esempio: {(1,2,3), (1,-3,-7), (2, 4, 6)} → (2,4,6) è linearmente dipendente.

• Base: Una base è un insieme di vettori che è:

1. È un sistema di generatori: può costruire tutto lo spazio Rⁿ.
2. Linearmente indipendente: Nessuno vettore appartenente alla � è proporzionale rispetto agli altri. ��� {� , � , …, � } 1 2 �

• Base Canonica: La base canonica varia in base al dominio di riferimento. Ad esempio:

1 0
� =
2
�2 0 1

1 0 0
� = 0 1 0
3
�3 0 0 1

1 0 0 0
0 1 0 0
� =
4
�4 0 0 1 0
0 0 0 1

…così via �

• Dimensione: È il numero di elementi di una qualsiasi base → dim(� ) = �
• Componenti: Si dicono componenti del vettore i coefficienti di ogni elemento dato � � = {� � , � � , � � } � 1 1 2 2 3 3
• Cardinalità: Dato l’insieme A, la cardinalità è il numero di elementi presenti al suo interno. Per cui:

Se � = {1,5,2,8}, la sua cardinalità sarà pari a 4.

Se A, B e la cardinalità di C risultante sarà � = � · �, |� · �| = |�| · |�|. Per cui se |A|=4 e |B|=3 allora .|�| = |� · �| = |�| · |�| = 4 · 3 = 12

Altre notazioni valide oltre a |A| sono #A oppure Card(A). � .

• Proposizione (Unicità delle coordinate): Se {� } è una base, ogni x ∈ X si scrive in modo unico come x = · ���� ���=1� �

Dimostriamolo: e � · � � = � · ���� � = � · � � � ����=1 �=1�

Sottraendo si ottiene 0 = ( � − � ) · ���� � � � ����=1

Poiché la base è linearmente indipendente per ogni i, dunque (� − μ ) = 0 � = μ � � � ����

Assiomi di Peano

Gli Assiomi di Peano sono un insieme di principi fondamentali che definiscono i numeri naturale e ne regolano il comportamento logico e aritmetico. Essi sono stati formulati dal matematico italiano Giuseppe Peano alla fine del XIX secolo per fornire una base rigorosa all'aritmetica dei numeri naturali.

I 5 Assiomi di Peano sono:

• Esistenza dello Zero (o dell'uno): Esiste un numero naturale di partenza chiamato 0 (o 1 se si segue una diversa convenzione). → ∃0 oppure ∈ � ∃1 ∈ �
• Successore: Ogni numero naturale ha un suo successore, anch'esso appartenente ai numeri naturali per cui. → ∀� ∈ ℕ ∃(� + 1) ∈ ℕ
• Iniettività del successore: Ogni valore numerico appartenente ad N ha un suo valore successore diverso. Ad ogni n dunque corrisponde un n+1 diverso da ogni altro n+1. → ∀n ∈ N → ∃(n + 1) ∈ N : (n + 1) ≠ (n + 2)
• Lo 0 non è successore di alcun numero: Non esiste alcun valore per il quale 0 sia suo successore. → ∄(0 − 1)
• Induzione matematica: Se una proprietà vale per lo 0 e per il successore di ogni numero per cui è vera, allora vale per tutti i numeri naturali.

I vettori

Partendo proprio dalle basi fondamentali un vettore è una struttura che contiene più informazioni rispetto ad un semplice scalare (puro valore numerico) tra le quali: modulo, direzione e verso. Questo è molto importante a livello grafico (visivo) e possiamo pensare ad esso come un “segmento orientato” in cui:

• La lunghezza ne indica il modulo
• La retta la direzione
• La freccia il verso

Essi possono inoltre essere paralleli quando hanno la stessa direzione, e, tra loro, possono essere concordi o opposti a seconda del verso.

La somma tra due vettori a,b genera un nuovo vettore c: .a + b = c

Questo vale anche per la sottrazione, ricordando inoltre che: .a − b = a + ( − b) = c

La moltiplicazione, invece, implica che lo scalare sia moltiplicato per ogni elemento del vettore: .� · � = �(1,2,3) (�,2�,3�)

I vettori in Algebra possono essere osservati come “casi particolari di matrici” con:

• Una sola riga e più colonne: (� ) → In tal caso si parla di vettore riga � 1 2 3 1 � � 1 �3 1
• Una sola colonna e più righe: (� ) → In tal caso si parla di vettore colonna � 2 � �1 3 �1 3

Tuttavia abbiamo anche altri casi particolari come il Vettore=Numero nonché una matrice (� ) .1 �1

Applicazione lineare

È una funzione (tra Sistemi Vettoriali) che conserva le operazioni: �: � → �

1. Additività → �(� + � ) = �(� ) + �(� ) � � � �
2. Omogeneità → �(� · �) = � · �(�)

Definizione di spazio vettoriale

Spazio Vettoriale (SV): Uno spazio vettoriale V su un campo K (es. R o C) è un insieme non vuoto di elementi detti vettori e dotato di due operazioni:

• Somma tra vettori (+: ): � × � → � � + � ∈ � � �
• Prodotto per scalare (· ):: � × � → � � · � ∈ �

Queste operazioni devono soddisfare 8 assiomi fondamentali:

1. Associatività della Somma di vettori: � + (� + �) = (� + �) + �
   Dati tre vettori u,v,w, l’ordine della somma, per la proprietà associativa, non genera un cambiamento al vettore risultante.
2. Commutatività della Somma di vettori: � + � = � + �
   Dati due vettori u,v, l’ordine della somma, per la proprietà commutativa, non genera un cambiamento al vettore risultante.
3. Esistenza dell’elemento neutro: ∃0 ∈ �: � + 0 = � � �
   Esiste un vettore nullo appartenente all’insieme dei vettori per il quale la somma non generi alcun cambiamento al vettore risultato dichiarandosi dunque come elemento neutro dell’insieme .
4. Esistenza dell’opposto: ∀� ∈ �: � + ( − �) = 0 �
   Per ogni vettore, esiste un vettore suo opposto per il quale, la somma dei due vettori, generi il vettore nullo come vettore risultante.
5. Associatività del Prodotto Scalare: �(��) = (��)�
   Dati gli scalari a,b e il vettore v, l’ordine in cui moltiplichiamo un vettore per lo scalare non altera il risultato.
6. Elemento neutro del campo: 1 · � = �: 1 ∈ �
   È facile intuire che il valore 1, moltiplicato per un vettore, non influisca sul suo risultato generando un vettore invariato e dichiarandosi come valore neutro del campo K degli scalari.
7. Distributività rispetto alla somma di vettori: �(� + �) = �� + ��
   Dato lo scalare a e i vettori u,v → Moltiplicare un valore scalare k per la somma di due vettori equivale a moltiplicare singolarmente lo stesso valore per i due vettori (separatamente) per poi sommare i vettori risultanti in un secondo momento.
8. Distributività rispetto alla somma di scalari: (� + �)� = �� + ��
   Dati gli scalari a,b e il vettore v → Moltiplicare un vettore per la somma di due scalari equivale a sommare la separata moltiplicazione del singolo scalare per lo stesso vettore.

Definizione di sottospazio vettoriale

Sottospazio Vettoriale (SSV): Un sottoinsieme è un sottospazio vettoriale di V se: � ⊆ �

1. Contiene il vettore nullo: 0 ∈ �: � ≠ ∅ �
   In quanto sottospazio vettoriale di V, il vettore W non può essere vuoto. Deve contenere quantomeno il vettore nullo!
2. Chiusura rispetto alla somma: ∀� , � ∈ � → � + � ∈ � 1 2 1 2,�
   Per qualsiasi vettore la somma dei due vettori restituirà un nuovo vettore appartenente allo stesso insieme W. � 1 2 Nonché suo sottospazio!
3. Chiusura rispetto al prodotto scalare: ∀� ∈ �, ∀� ∈ � → � · � ∈ �
   Per qualsiasi scalare k e dato un qualsiasi vettore w, la moltiplicazione vettore per scalare restituirà un nuovo vettore appartenente a W. Nonché suo sottospazio!

Definizione di combinazione lineare

Una combinazione lineare di vettori è un espressione del tipo: dove a sono scalari e v � � , � , . . . , � ∈ � � = � è 1 2 � � ���=1 sono vettori.

Banalmente potremmo esprimerla come: (� · � + � · � + ⋯ + � · � ) 1 2 � �1 2

Ad esempio, se � = (1,0) � = (0,1) e con a =3 e a =2, allora una combinazione 3� + 2� = (3,0) + (0,2) = (3,2) è 1 21 2 1 2 lineare.

Definizione di indipendenza lineare

Un insieme di vettori V= Linearmente Indipendente se l’unica combinazione lineare a generare il {� , � , . . . , � } ⊆ � è 1 2 � � vettore nullo quella nonché definita dallo scalare : = 00 � = 0 � � ⇒ � = 0 ∀� è “banale”, � � � ���=1 �

È invece Linearmente Dipendente se esiste almeno una combinazione non banale che dia il vettore nullo cioè almeno un � ≠ 0. �

Per essere più chiari: � � + � � + … + � � = 0 ⇒ � = � = … = � = 0 1 1 2 2 � � 1 2 �

Dunque se esistono dei vettori “identici” o “proporzionali” (es. v1 doppio di v3, v6 triplo di v8, …) il sistema sarà linearmente dipendente!

Possibile domanda: Se viene fornito uno � � � � {�1, �2, �3} � ∈ � . e un vettore e viene chiesto di verificare l’appartenenza del vettore w allo span, allora definiamo come segue: � = � + � + � � � � 1 1 2 2 3 3

Definizione di SPAN

Lo span di un insieme di vettori è il sottospazio vettoriale generato da tutte le loro combinazioni lineari.

Dato un insieme di vettori appartenenti a uno spazio vettoriale V su un campo K, lo span è l'insieme di � = {� , � , . . . , � } 1 2 � tutte le possibili combinazioni lineari di questi vettori:

Span(� , . . . , � ) = {� · � + � · � + . . . + � · � ∣� ∈ �} 1 � 1 2 �1 2 � �

Questo insieme è dunque un sottospazio vettoriale di V! 2 3

Lo span di (Nonché diverso dal vettore nullo) genera una retta in (2 Vettori) o un piano in (3 Vettori). � ≠ 0 � ���

Dimostrazione: Unicità del vettore nullo

Supponiamo che y e z siano entrambi elementi neutri:

1. Poiché z è neutro → � = � + �
2. Poiché y è neutro → � = � + �
3. Per la proprietà commutativa → � + � = � + �
4. Il confronto rende noto che → � = �

Dunque il vettore nullo è unico e non ne esistono molteplici!

Dimostrazione: Unicità del vettore opposto

Supponiamo che y e z siano entrambi opposti di x:

1. � = � + 0 �
2. Poiché z è opposto → � = � + (� + �) è �
3. Per la proprietà associativa → � = (� + �) + �
4. Poiché y è opposto → � = 0 + � è �
5. Il risultato è che: � = �

Dunque il vettore opposto è unico, per il vettore in analisi, e non ne esistono altri!

Dimostrazione: Prodotto dello zero scalare

Dimostriamo che: 0 · � = 0 �

• 0 · � = (0 + 0) · �
• Proprietà distributiva: 0 · � = 0 · � + 0 · �
• 0 · � = 0 + 0 · � �
• Per la legge di cancellazione: 0 = 0 · � �

Quindi il prodotto dello zero scalare è il vettore nullo.

Le matrici

Una matrice è una Tabella Rettangolare di valori numerici nella forma simile a quelle che seguono:

1 2 3
� =
2
�3 4 5 6

1 2
� = 3 4
3
�2 5 6

Una matrice a coefficienti in K è una funzione in cui m ed n sono rispettivamente:

� � = {1,2, . . . , �} � {1,2, . . . , �} → � ���

• � = {���ℒ�}
• � = {�������}
• � = {������� ������� �������}
• = {�������� ����� ������� ��� ����� ����� � ��� �� ���ℒ� � � ��� �� �������}

Ovviamente il massimo di i è pari al numero del