Risposte alle domande, Statistica

1) Dare la definizione di vettore aleatorio gaussiano standard e di vettore aleatorio gaussiano

Fornire le principali proprietà dei vettori gaussiani.

Un vettore aleatorio Z̄ = (,...;) è gaussiano standard n-dimensionale se le v.a ,...; sono v.a gaussiane standard indipendenti.

Un vettore aleatorio n-dimensionale X̄ è gaussiano se esistono una matrice A ×, μ̄ ∈ ℝⁿ e un vettore gaussiano standard n-dimensionale Z̄, tali che X̄ = Z̄ + μ̄.

Sia X̄ = Z̄ + μ̄ vettore gaussiano n-dimensionale e C =  la matrice di covarianza di X̄, allora valgono le seguenti proprietà:

• Se  > 0, allora la componente -esimo  è una gaussiana con  ∼ (; ). Se  = 0 allora ( = ) = 1.
• Se è una matrice × e h̄ ∈ ℝ allora Ȳ = X̄ + h̄ è gaussiano con vettore delle medie μ̄ + h̄ e matrice di covarianza C.
• Se ₁,...; sono non correlate allora sono anche indipendenti.

Statistica - Teoria 1 / 32 19/01/13

1) Dare la definizione di vettore aleatorio gaussiano standard e di vettore aleatorio gaussiano

Fornire le principali proprietà dei vettori gaussiani.

Un vettore aleatorio Z^→ = (z_i,...;z_n)^T è gaussiano standard n-dimensionale se le v.a z_i,...;z_n sono v.a gaussiane standard indipendenti.

Un vettore aleatorio n-dimensionale X^→ è gaussiano se esistono una matrice A n×m, μ^→ ∈ R^r e un vettore gaussiano standard n-dim Z_→, tali che X^→ = A Z^→ + μ^→.

Sia X^→ = A Z^→ + μ^→ vettore gaussiano n-dim. e C = AAT la matrice di covarianza di X^→, allora valgono le seguenti proprietà:

• Se c_ii > 0, allora la componente i-esimo x_i è una gaussiana con x_i ∼ (μ_i; c_ii). Se c_ii = 0 allora P(x_i = μ_i) = 1.
• Se G è una matrice k×n e h^→ ∈ R^k allora Y_→ = G X^→ + h^→ è gaussiano con vettore delle medie G μ^→ + h^→ e matrice di covarianza GC GT.
• Se x₁;...;x_n sono non correlate allora sono anche indipendenti.

2) Date la definizione di funzione generatrice dei momenti di una variabile aleatoria e elencare le sue principali proprietà

Calcolare la fgm della V.A. x+y, con x e y indipendenti e con distribuzione esponenziale di media θsym;, giustificando i passaggi.

Sia X una VA per la quale esiste un intervallo aperto G contenente lo 0 tale che e^tx ammette media ∀t in 0. Allora la funzione: m_x(t) = E(e^tx) definita almeno ∀t ∈ 0 è la fgm di x.

Tutti gli altri momenti possono essere ottenuti derivando più volte m_x nell'origine. Valgono le seguenti proprietà:

• Siano x e y 2 vettori aleatori che ammettono fgm m_x e m_y, allora le 2 fgm: F_x = F_y se e solo se m_x = m_y.
• Sia x' un vettore aleatorio che ammette m_x' e siano m_x le fgm marginali. Allora le componenti di x' sono indipendenti se e solo se m_x' = m_x . m_x2 .... . m_xn.

x e y sono VA indipendenti 1/λ = θsym; λ = 1/θsym;, f_x(x) = ¹/_θsym; e^{-1/_θsym; x}.

Poiché sono indipendenti, la fgm di x+y è data dal prodotto delle 2 funzioni generatrici m_x+y(t) = m_x(t) . m_y(t).

E(e^tx) = ∫₀^+∞ e^tx . ¹/_θsym; e ^-1/θsym; dx = ∫₀^+∞ e^{(t -1/θsym;)x} dx == -¹/θsym; (¹/_{t -¹/θsym;}) ∫₀^+∞ e^{-(t + 1/θsym;)x} dx = -¹/_{t -¹/θsym; - 1} = ¹/_{1 - tθsym;}.

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3) Dare la definizione di distribuzione t e F

Fornirne le proprietà dei quantili delle due distribuzioni.

Se z e C_n sono V.A. indipendenti con z ∼ N(0;1) e C_n ∼ χ²_n allora la V.A.