Corpi rigidi

Dinamica dei corpi rigidi

Dinamica di un corpo rigido

Un corpo rigido è un sistema definito come un sistema di punti materiali in cui le distanze fra tutte le possibili coppie di punti non possono variare.

Se conosco tutti gli _3n scalari (x,y,z) del sistema, saprò anche lo stato del sistema.

3n quantità scalari (x, y, z) → 3n gradi di libertà.

L'asse definisce la rotazione del corpo rigido, ora lo proietto sul piano e trovo l'angolo ψ.

Un sistema rigido ha solo 6 gradi di libertà.

x_cm e ψ y_cm z_cm ψ tali gradi di libertà.

ψ vengono detti angoli di Eulero.

Trascurabile.

In generale posso studiare un corpo rigido in un sistema inerziale.

La dinamica è quella di un punto materiale e non c'è momento rispetto al centro di massa.

L' = 0, E_TR = 0 → P_i = m_iv_i E_TR = 1/2 m_iv²_i.

L'eq. del moto del centro di massa: R = m ȧ_cm L'eq. del momento angolare: L' = Ȧcm x rcm + x m_iv_i x r' → L non è indipendente da P.

Pura traslazione

E_TR = 1/2 m_iv²_cm

F_ext

L' = Ȧcm x r_cm x r' → L = ȧ_cm x r'

R(_ce) = dP/d(t) = 0 → ȧ_cm = 0

I punti del sistema non si muovono rispetto al sistema.

Dinamica dei corpi rigidi

Dinamica di un corpo rigido

• Un corpo rigido è un sistema definito come un sistema di punti materiali in cui le distanze tra tutte le possibili coppie di punti non possono variare.

Se conosco tutti gli _xyz del sistema, saprò anche lo stato del sistema.

3n quantità scalari (x, y, z) → 3n gradi di libertà.

L'asse z definisce la rotazione del corpo rigido, ora lo proietto sul piano e trovo l'angolo ψ.

• Un sistema rigido ha solo 6 gradi di libertà:

Questi sono i 6 gradi di libertà: _χcm e _ψ

L_{nvengono dèg}li angoli di Eulero.

Le 6 sono eq. scalari: _{R^(ce) = d}P / _dt = _dP / _dt

• In generale posso studiare un corpo rigido in un sistema inerziale.
• La dinamica è quella di un punto materiale e non c'è movimento rispetto al centro di massa.

L' = 0, E_R = 0

P_c = m v_c, E_R = E_cin = ½ m v²_c

• L'eq. del moto del centro di massa:

_{R = m}a>_c

L_z = _z x _c x m v_c x _c x _P

L^z = ^zcm x v>_c - P>_L non è indipendente da P.

Pura traslazione

E_R = ½ m ^{vzcm_c - _c}

I punti del sistema non si muovono rispetto al sistema.

_{Rce = d}P / _dt = _c

Per rotazione

^Etot = ¹/₂m_CMv²_CM + E_r

Sta ruotando attorno al centro di massa.

l = r × P

Vedendolo dall’alto, possiamo vedere ogni punto del corpo rigido che descrive un moto circolare.

Le traiettorie sono archi di circonferenze diverse che stiamo su piani tra loro paralleli e hanno il centro sull’asse di rotazione.

Tutti, i punti ruoteranno con la stessa velocità angolare.

v₁ = ω·z₁

Rototraslazione

Il moto rigido più generale è una rototraslazione: ogni spostamento infinitesimo può sempre essere considerato come composto di una traslazione e di una rotazione infinitesima, individuate da x,y,z variabili nel tempo.

Per descrivere questo moto viene usato il Teorema del momento angolare e il Teorema del centro di massa.

^{ce} = dP̅/dt

^{ce} = I dω/dt

Poiché nello studio di un corpo rigido studieremo solo le forze esterne.

W^{e} = ΔE_c → solo per i corpi rigidi

R = dP/_DT

W = ΔE_c

Distribuzione della massa

Per studiare un corpo rigido con una struttura continua, posso suddividerlo in modo microscopico. Il singolo punto materiale va pensato come un piccolo volume dt contenente una massa dm.

dv = dx·dy·dz

dm=ρdv

ρ = dm/dz [kg/m³]

Densità → densità di volume della massa.

Volume

Prendendo come esempio un volume infinitesimale.

Un corpo con densità non omogenea.

ρ = ρ(x, y, z)

Massa Tot m = ∫∫∫ ρ(x, y, z) dx dy dz

Definizione di densità di massa.

• Se invece è un corpo rigido omogeneo

ρ = cost = ρ₀ m = ρ₀ V

ρ = m _V

Superficie

dms = G' = dm _ds[kg/m²] → densità superficiale di massa

Linea

dm = λ dl = dm _dl[kg/m] → densità lineare di massa

Calcolo della posizione del centro di massa

• La posizione del centro di massa è data dalla somma degli infiniti vettori r̅ dmi, divisa per la massa totale

_ZCM = Σi mi z̅i_{Σi mi} → se è distribuito discretamente

_ZCM = (∫∫∫ r̅ ρ(x, y, z) dx dy dz)_{∫∫∫ ρ(x, y, z) dx dy dz}

_XCM = (∫∫∫ x ρ(x, y, z) dx dy dz)_{∫∫∫ ρ(x, y, z) dx dy dz}

• Invece se il corpo rigido è omogeneo

_ZCM = 1 ^V ∫∫∫ x dV

∫∫∫ r̅ dx dy dz =∫∫∫ x dx dy dz

Cioè vuol dire che il centro di massa non dipende dalla densità ma dal volume.

Caso 1: sbarretta omogenea

xdm = λ dx

Considero la sezione tracciabile.

λ = ρ e = m

Devo integrare solo lungo l'asse x.

x_CM = ^{∫₀l x λ dx} / _m

x = λ dx =l/2 x_CM = ^(x2/2)₀l / _m = l/2

A metà della sbarretta.

Caso 2: semianello

x = R cos θ;

y = R sen θ;

Mi aspetto che abbia un c.m. con z coordinato.

x_CM = ^{∫ dm} = ∫ λ Rdθ λR²

y_CM =

Centro di massa.

Caso 3: semidisco

ss = ∫∫ dx =

y = sen φ;

y_CM =c (sen φ dφ dx

Centro di massa.

Caso 4 - asta non omogenea

dm = λ dx m = ∫ dm = ∫ λ dx = ∫ λ₀(1 + αx) dx = λ₀( l + α x² ) / 2 = λ₀ ( l + ℓ)

Volume e m in T.Sim nel corpo rigido hanno lo stesso peso.

x_ce = ∫ x dm / m = (1 / m) ∫ λ₀ (1 + αx) x dx = λ₀( x² / 2 + α x³ / 3 l ) o = λ₀( ℓ + α ℓ² / 3 ) il centro di massa

Forza peso sui corpi rigidi

P = ∫ dm g = mg = ∬_S p n z ds

P₀ : forza peso complessiva.

Volumi t.t.i. sono div. T.t.t vers ⁰

E_P (z) = ∫ dmg z = y_m ∫ dm / m = mg z_ce

Coordinato di z_ce.

Momento d'inerzia

Prendo un corpo rigido vincolato a ruotare intorno ad un asse fisso.

L_z = I_z L₂ = I₂

i₂ = I_z - L_{z l} =m c Ri²

L + v = ω + α_x L_z = ∑ m_i R_i

L_x = lg di maniera che sia zero e che si sviluppi solo lungo l'asse z.

I_z = ∑ i m_i R_i ²

Momento inerzia del corpo rigido rispetto all'asse z.

γ φ = proporzionale alla velocità angolare.

L'asse può essere esterno al corpo e il centro di massa non è dello si un piano dell'asse stesso.

L = dI/dt → (I_xω_x I_yω_y I_zω_z)

I_xyω_y I_xzω_z)

I_yzω_z I_yxω_x)

→ anche in questo caso si può suddividere.

I_xz = dI_xz/dt I_yω_y + I_zω_z)

I_yz I_zx)

Caso semplice - corpo rigido simmetrico rispetto a ζ

I_x→ I_xz = 0 , I_z = I₂ = 0 = I ω₂ω

Assi principali di inerzia

Si può dimostrare che anche se non i simmetrico, dati i...ass x saranno in cui durante la rotazione i = 0 in un corpo.

Simmetrico la componente = si annulla per simmetria.

Iz = dI_z/dt (Iz = 0 Iz = 0 == Iz = I_z) Iz = Iz (Iz = R→ accelerazione angolare = simmetria anche nelle eq. cardinali

Vale solo per i corpi simmetrici.

a = M_z/I_z → u(t) = u_o + [i/0

Da questo troviamo 9(t).

Esempio

Un disco omogeneo può ruotare senza attrito attorno ad un'asse fisso orizzontale, passante per il centro di massa 0.

T_x = T_{2 x} = T

Δ x = R Δ⋮₂

d⋮_x dt = d⋮₂ dt

⋮_x = R⋮_⋮^R incognite:

m₃ g - T₁ = m₃

Il disco scende e gira in senso antiorario.

R^_ tiene fisso l’asse.

m₃ g - T₁ = m₃ α

(disco) m₃ g + T₂ - R = 0

RT - I_z⋮ d₂g

R⋮:3 = m₃ T = 0

RT - I_zα; = = Ra = m₃a = m₃gR^{-1 I_{_}:}m = g₃

RTz²₂,₂: = RTz , = TB _R <>α = [->>l

Il momento d’inerzia ci dice in che modo il corpo si mette in moto.

Energia cinetica e lavoro

Il momento di inerzia è una grandezza additiva I_z = Σ m_i R_i² I_z = I_z0 + mR²

I_{z tot} = I_z0,1 + I_z0,2

E_k = Σ ½m_iv² = Σ ½ m_i(v_c+ωR)² = Σ ½m_i v_c² + Σ ½ m_i (ωR)² + Σ ½ m_i R² ω²

E_k = ½ m v_c² + ½ I_z ω²

V_k = ΔE_k = ½ I_zω₁² - ½ I_zω_in²

dω = ΣI_z dθ⁰_∫I_zdθ

dW = I_zαdθ

dW = δW = d