Sistemi di corpi rigidi e plv

Vincoli olonomi e schemi meccanici

Lo schema di corpo rigido si presta solo a rappresentare parti solide di macchine o strutture. Per mettere in relazione moti e posizioni di equilibrio di diversi organi di macchina o di una struttura è necessario introdurre schemi meccanici più complessi soggetti a vincoli esterni.

Per un sistema S si chiamano olonomi i vincoli che limitano direttamente le configurazioni C di S e indirettamente i suoi atti di moto. Le restrizioni a cui sono soggette le configurazioni si esprimono imponendo a funzioni φ₁, φ₂... delle coordinate degli elementi di S di essere = 0 o ≥ 0. Nel primo caso si hanno vincoli bilateri; nel secondo unilaterali.

Un vincolo olonomo si dice dipendente dal tempo se si muove rispetto ad un riferimento fisso o se si deforma con legge assegnata. Si ha ambiguità se il vincolo trasla con velocità v od esso tangente.

Vincoli olonomi indipendenti dal tempo: le restrizioni imposte alle configurazioni del sistema possono essere espresse imponendo alle funzioni φ₁, φ₂... delle sole coordinate degli elementi di S di essere ≥ 0 oppure ≥ 0.

Vincoli olonomi dipendenti dal tempo: nelle funzioni φ₁, φ₂... compare anche il tempo.

Lo schema di corpo rigido si presta solo a rappresentare parti solide di meccanismi o strutture. Per mettere in relazione moti e posizioni di equilibrio di diversi organi di meccanismi o di una struttura è necessario introdurre schemi meccanici più complessi soggetti a vincoli esterni.

Per un sistema S si chiamano olonomi i vincoli che limitano direttamente le configurazioni C di S indirettamente i suoi atti di moto. Le restrizioni a cui sono soggette le configurazioni si esprimono imponendo a funzioni φ₁, φ₂ ... delle coordinate degli elementi di S di essere = 0 o ≥ 0. Nel primo caso si hanno vincoli bilateri; nel secondo unilaterali.

Un vincolo olonomo si dice dipendente dal tempo se si muove rispetto ad un riferimento fisso o se si deforma con legge assegnata. Si ha ambiguità se il vincolo trasla con velocità v ad esso tangente.

Vincoli olonomi indipendenti dal tempo: le restrizioni imposte alle configurazioni del sistema possono essere espresse imponendo alle funzioni φ₁, φ₂ ... delle sole coordinate degli elementi di S di essere = 0 oppure ≥ 0.

Vincoli olonomi dipendenti dal tempo: nelle funzioni φ₁, φ₂ ... compare anche il tempo.

Velocità possibili e velocità virtuali

Le restrizioni che i vincoli impongono direttamente alle configurazioni limitano indirettamente anche gli stati di moto di S.

Tali limitazioni sono espresse da relazioni che si ottengono derivando rispetto a t le condizioni del tipo: φ₁=0, φ₂=0 ... oppure φ₁ > 0, φ₂ > 0 ... imposte dal vincolo alla configurazione.

Si dice che le velocità, gli stati di moto e gli spostamenti sono possibili se compatibili con le limitazioni imposte dai vincoli.

Consideriamo un elemento E soggetto ad un vincolo dipendente dal tempo e sia V la configurazione del vincolo all’istante t.

E all’istante t occupa il punto P compatibile con le restrizioni imposte dal vincolo. Si dicono velocità virtuali V relative a t e P le velocità che E può assumere in P compatibilmente con le limitazioni indirette imposte dalla configurazione del vincolo all’istante t.

Se il vincolo è olonomo allora le velocità virtuali sono tutte tangenti in P a V: V' ⋅ n = 0.

Se il vincolo è unilaterale le velocità virtuali di E in P all’istante t devono formare un angolo non ottuso con n orientato del vincolo all’elemento: V' ⋅ n >= 0.

Se il vincolo è bilaterale le vel virtuali sono revocabili mentre nel caso di vincolo unilaterale vi sono velocità non revocabili.

La velocità nulla risulta virtuale tutt* e ** vincolo. Non si deve parlare di velocità virtuale (singolare) perché si tratta di un insieme di n’ veloci ties!

Spostamento virtuale

Moltiplicando V' per δt si ottiene lo spostamento virtuale δ₀P.

Che è lo spostamento compatibile con la configurazione V del vincolo dipendente da t all'ist t.

Se il vincolo è bilatero si ha: ^O_P · ⁿ = 0 quindi ogni spostamento virtuale è ammissibile.

Se il vincolo è unilatero ^O_P · ⁿ >= 0 ed esistono spostamenti virtuali non ammissibili.

Per un sistema Sv, sistema a vincoli olonomi, si chiamano atto di moto virtuale e spostamento virtuale relativi a t e a C_v rispettivamente la velocità virtuale e gli spostamenti virtuali di Sv.

Lo spostamento virtuale dell'intero Sv lo si indica così: g C_v.

Se Sv è un corpo rigido tutti i suoi atti di moto e gli spostamenti virtuali sono rigidi ∀ t ∈ t, ∀ C_v. Le velocità virtuali dell'elemento E in P all'ist t sono espresse da _V^P = _Vⁿ + _w x ^r_P dove _Vⁿ è vw sono virtuali cioè compatibili con le config di vincoli all'ist t.

Gli spostamenti virtuali di un corpo rigido sono dati da g^O_P = gs_n + w δt x ^r_P.

Qualunque sia Sv e qualunque siano i vincoli l'atto di moto e lo spostamento nullo sono virtuali.

Le velocità virtuali sono indipendenti dell'atto di moto dei vincoli e le velocità possibili, invece, no.

Vincoli dipendenti dal tempo

Consideriamo il vincolo bilatero dipendente dal tempo a seguito schematizzato: = ⟶p + ⟶T.

• Se ≠ 0 vel poss. ≠ vel vinti.
• Se = 0 vel poss. = vel vinti. t.p occupato da E.

Consideriamo un vincolo unilaterale dipendente da t.

• Se > 0 l'insieme delle velocità vinte comprende quello delle vel possibile ma non coincide con esso.
• Se < 0 l'insieme delle velocità vinte è compreso in quello delle vel possibile ma non coincide con esso.
• Se = 0 i due insiemi coincidono.

Non esiste una relazione generale tra vel vinti e vel poss t.c E ≠ tt.

Se i vincoli sono indipendenti dal tempo gli atti di moto vintuhi ⟶T e ⟶Cv.

Gli atti di moto vintuhi relativi a t e a Cv è indipendenre dell'atto di moto effettivo rispetto g1 atti di moto virtuali sono definitri anche se il corpo si m rimette....

Lavoro virtuale

Se _h è una forza di qualsiasi tipo agente su E_b e su all'ist. t nel quale E_b occupa P_h, il lavoro virtuale della forza _h per lo spostamento δO_Ph di P_h relativo a t è dato da δ L_h = _h · δO_Ph = _h · _n δt ed ha la stessa dim del lavoro effettivo.

Consideriamo la sollecitazione costituita da N forze _h agenti sugli elementi di S_v e lo spostamento virtuale di S_v (δC_v) costituito da N spostamenti virtuali δO_Ph relativi all'ist t. Il lavoro virtuale della sollecitazione per lo spostamento δC_v relativo a t è dato da δL = Σ_{1 h} · δO_Ph = Σ^N _h · _n δt lavori elementari possibili, ≡ virtuali δt e δC_v.