Statica dei corpi rigidi

Statica dei corpi rigidi

Simbologia

Vettore / Versore

Prodotto scalare

Prodotto vettoriale

Importante

Vettore nullo

Def forza

Forza: causa fisica che modifica lo stato di quiete o moto di un corpo. Grandezza vettoriale e perciò definita da:

1. Punto applicazione
2. Direzione
3. Verso
4. Modulo

Vettore applicato

Se non c'è bisogno di specificare 1 parliamo di vettore libero.

Def punto materiale

Corpo rigido

Corpo rigido: insieme di infiniti punti materiali. A prescindere dalla distribuzione delle sollecitazioni la distanza tra due punti è costante.

Statica dei corpi rigidi

Simbologia

ei: Vettore / Versore

·: Prodotto scalare

×: Prodotto vettoriale

Importante

R = 0 Vettore nullo

Def forza

Forza: causa fisica che modifica lo stato di quiete o moto di un corpo.

Grandezza vettoriale e perciò definita da:

1. Punto applicazione
2. Direzione
3. Verso
4. Modulo (|F|)

Vettore applicato

Se non c’è bisogno di specificare ① parliamo di vettore libero.

Def punto materiale

Corpo rigido

Insieme di infiniti punti materiali.

A prescindere dalla distribuzione delle sollecitazioni la distanza tra due punti è costante.

X_c X_c costante

Il concetto di corpo rigido è da considerare in relazione al sistema in esame.

In realtà non esiste un corpo indeformabile in assoluto.

Def momento

Def. Consideriamo un piano si dice momento di F rispetto Q.

H(Q) = (P - Q) × F

Vettore perpendicolare

Verso determinato dalla regola della mano destra

Terno levogira

|M(Q)| = F · b

Fissando un sistema di riferimento _{O; x, y, z} definisco M(Q) con una relazione di tipo:

M(Q) = [_{x - xa}, _{y - ya}, _{z - za}][F_x, F_y, F_z]

Se cambio sistema di riferimento mantenendo la stessa origine M(Q) rimane costante.

La relazione è matricale, il determinante (invariante covario) non cambia col variare del riferimento.

Nel sistema piano si considerano nulla la componente di Z; al più in alcuni software rappresentano la quota.

Sistema di forza

S := { (P_i, F_i), con i = 1, 2, ... , μ }

Punto applicazione i-esima forza

Grandezze fondamentali

R = ∑_i=1^μ F_i risultante

M(Q) = ∑_i=1^μ [(Pi - Q) × Fi]

Vettore libero

Momento risultante

(Di tutte le forze del sistema)

Vettore libero

Non esiste nessun tipo di forza concentrata.

Bisogna introdurre il concetto di distribuzione di forze.

Può avvenire sia a una linea che a una superficie qualsiasi (piana o spaziale).

Caso piano

s ∈ [o; s]

P(s) ∈ ℓ

Ascissa curvilinea

fi è agisce un sistema di forze

R = ∫_λ f(s) . ds

M(Q) = ∫_λ [(P(s) - Q) x f(s)] . ds

Nella maggior parte dei casi la distribuzione è di tipo lineare o costante.

Alle volte nasce l'esigenza di calcolare il momento rispetto a un altro punto (Q₁).

M(Q) ≠ M(Q₁)

M(Q₁) = ∑_{i = 1}ⁿ (P_i - Q₁) × F_i = ∑_{i = 1}ⁿ (P_i + Q - Q₁) × F_i

= ∑_{i = 1}ⁿ (P_i - Q) × F_i + ∑_{i = 1}ⁿ (Q - Q₁) × F_i = M(Q) + (Q - Q₁) × R

M(Q) + (Q - Q₁) × R = M(Q) (1)

Se _R = 0 ⟶ M(Q) = M(Q')

Il momento risultante non cambia al variare del polo Campo momento risultante uniforme vettoriale.

(4) Vale per qualsiasi tipo di forze.

Sistema forze e coppie

S ::= { (P_i, F_i), con i = 1, 2, ..., m ; M_f con j = 1, 2, ..., n }

R = ∑_{ℓ = 1}^m F_ℓ

M(Q) = ∑_{i = 1}^m (P_i - Q) x F_i + ∑_{j = 1}ⁿ M_f

Le coppie possono essere distribuite (distribuzione lineare).

M(Q) = ∫₁^s m_f P(s) ds

Se la distribuzione è costante M(Q) = m_f . ℓ

Equivalenza sistemi di forze

Dati due sistemi S₁ ed S₂ di qualsiasi tipo:

1. S₁ { R₁ M₁(O) }
2. S₂ { R₂ M₂(O) }

S₁ equivalente a S₂

R₁ = R₂

M₁(O) = M₂(O)

Dim

Consideriamo il sistema S* = S₁ - S₂

R* = R₁ - R₂ = 0

M^*(O) = M^*(O)

Def

S si dice "sistema equivalente a 0".

R = 0

M(O) = 0 _VQ

La differenza di due sistemi equivalenti corrisponde al sistema zero.

Equazioni cardinali della statica

Equazioni cardinali della statica

Corpo rigido

Sia B corpo rigido soggetto a f