Continuità, derivabilità e polinomi di Taylor

Serie a segni alterni

Teorema di Leibniz: consideriamo la serie. È definita decrescente la successione delle sue somme parziali. Allora la serie è semplicemente convergente. Inoltre, se indichiamo con S la sua somma e con somme parziali, allora abbiamo (cioè l’errore che commettiamo approssimando S con Sn è più piccolo del primo termine escluso).

Osservazioni

• L'ipotesi coincide con la condizione necessaria quindi non può essere tolta.
• Neanche l’ipotesi "decrescente" può essere tolta.
• Il teorema dà solo una condizione sufficiente per la convergenza.
• Il teorema non dice nulla sulla convergenza assoluta.

Fatto

In breve, per tutte le serie:

• Condizione necessaria (ma non sufficiente)
• Convergenza assoluta implica convergenza semplice. Quindi se considero la serie assoluta allora a questa posso applicare i criteri per la serie a termini positivi.

Per le serie a termini positivi:

• Criterio del confronto e relativo criterio asintotico
• Criterio del rapporto e relativo criterio asintotico
• Criterio delle radici e relativo criterio asintotico
• Criterio di condensazione

Per le serie a segno alterno:

• Criterio di Leibniz

Funzioni continue

Definizione

Sia f una funzione di dominio dom f. Sia x dom f. Diremo che f è continua in x quando:

• x è un punto isolato di dom f
• x è un punto di accumulazione di dom f e vale: e coincide con f(x)

Quindi il limite. Diremo che “f è discontinua in x” quando f non è continua in x. Diremo che f è continua quando lo è.

Definizione

Indicheremo con C⁰(x) l’insieme di tutte le funzioni che sono continue sull’insieme X.

Osservazione

Un punto x è detto di discontinuità per f quando:

Proposizione

Se f è una funzione continua in x, allora.

Dimostrazione

Basta usare la definizione di continuità di una funzione e la definizione di limite di funzione con.

Teorema sull’algebra delle funzioni continue

Siano f e g due funzioni definite sullo stesso insieme X. Sia x un punto di accumulazione di X. Siano f e g continue in x. Allora:

• Somma: f + g è continua in x.
• Prodotto: f * g è continua in x.
• Quoziente: f / g è continua in x, se g è diversa da zero in x.

Teorema di locale limitatezza

Se f è continua in x, allora: f è definita limitata per.

Teorema sulla permanenza del segno

Se f è continua in x. Se, allora f è definita. Sia f continua in x.

Teorema del cambio di variabili

Siano f e g due funzioni tali che g°f sia definita su X. Sia g continua in f(x). Allora la funzione g°f è continua in x. In particolare: la composizione di funzioni continue è continua.

Teorema-ponte per le funzioni continue

Sia x. Rispetto all’enunciato del teorema ponte qui abbiamo: f(x) al posto di, non è più richiesto.

Funzioni discontinue

Definizione

Sia x un punto di discontinuità di f. Allora:

• Diremo che x è un punto di discontinuità eliminabile quando e non coincidono tra loro.
• Diremo che x è un punto di discontinuità di 1^° specie quando.
• Diremo che x è un punto di discontinuità di 2^° specie in tutti gli altri casi, cioè quando almeno uno tra.

Osservazioni

Se f(x) ha una discontinuità eliminabile in x, allora la funzione è continua in x.

Ha dominio: dom f. Se.

Prolungamento per continuità

Sia x ed è finito. Allora la funzione ed è continua in x non elimineremo la discontinuità.

Prassi

1. Se f ha una discontinuità eliminabile (in.
2. Se f è prolungabile per continuità (in x allora passeremo sempre allo studio della prolungata.

Teorema di Weierstrass

Sia f una funzione tale che allora f ammette sia un massimo che un minimo, cioè.

Osservazioni

Nel teorema sono richieste 3 ipotesi: che f sia continua e dom f sia chiuso e limitato. Ciascuna di queste ipotesi è irrinunciabile. Basta toglierne 1 perché il teorema sia falso. Allora.

Teorema di Bolzano (o degli zeri)

Sia f con. Dimostrazione: procediamo usando il metodo di bisezione. Supponiamo di avere (l’altro caso è analogo). Quindi abbiamo.

Per comodità rinomino. Abbiamo 3 possibilità: Consideriamo il punto cioè: abbiamo trovato il punto c cercato dall’enunciato allora abbiamo un nuovo intervallo: denoto con f(È la stessa situazione iniziale ma con un intervallo di metà lunghezza): denoto. Abbiamo un nuovo intervallo. Itero il ragionamento e abbiamo. Allora considero il punto medio tra. In ogni caso ottengo un nuovo intervallo. In questo modo costruiamo due successioni. La successione è crescente e limitata dall’alto. La successione è decrescente e limitata dal basso da b (cioè da b (cioè per il teorema sulle successioni monotone ed è finito, lo denoto a: ed è finito, lo denoto b: Adesso dimostriamo a=b. Infatti abbiamo. Inoltre sappiamo. Per il teorema-ponte, per le funzioni continue e per il teorema di permanenza del segno otteniamo: ma poiché a=b deduciamo. Quindi per ottenere il punto c dell’enunciato basta scegliere c=a(=b).

Osservazioni

• Il teorema di Bolzano non dà indicazioni su come trovare lo zero c.
• Il teorema di Bolzano non dà alcuna indicazione su quanti siano i punti c dell’enunciato.

Corollario

Sia f come nell’enunciato del teorema di Bolzano. Sia f strettamente...