Derivate, continuità, monotonia differenziabilità

DerivateEsempi

Gfmediapendenza =µ☐" " limitependenza sarà DXpuntopunto 0La per un per → .0£velocitàMoto rettilineo media: =Evelocità lineistantaneala è StDtnsoDI adinterno (A )I3dice Apunto soloun A EsiE toxo seese)(I to A( ) itME lo Ì(F)☒ adE aI internoènon A→Def IR soloIR di derivabilechediceAinternodatoaData c- puntof èsesi in→ e sexo se: xoe ,skothq-tkol-i.am &"% [finito ein ]esiste 1: a noo ✗→ →derivataderivabile dilo è chiamasi ilin inse valoregxo xo :,tolto h ) )(f+ xo' ( ) -line8 to = hh o→ /I È( ) ÈNotazioni alternative )(D8 ): to (xo co,, ,di ✗Defrel ] limiteilcuiin esiste finito finito laterale[ esista1 noncaso :ma,&(•+%-&"÷ dliuatadlstra-dif.eudaderivabile destrache è todice dicesiline siinsi :exo,+q •→ ""+%-gs' ( ) lineto =+ oxa →derivatasiuistra-ossewaz.edu/l! (modo )analogo laIn èg to, anche addi derivata inquando èha è definitadestra f tuttoconcetto internonon Alo masenso ,destra diintorno xoun .Es 'interno sinistraMuto intorno )tutto Ikoe EA ac- aqui xo ma[ _ ,,di daxo afuorisonoÈ definita1) solofcx ) per o× ,= A-è al [ )dominiointernopuntoxo o non 0,1-0= ,312☒÷ '"8C0+%8 q a O= →= =a- h +→ ☐destra s'è derivabile da in (a)g 0 0xo = =+,} )()2) fcx a✗ +0O== - , dominiodel0=0 è internopunto✗ %SCII 'e o= = →hs o f'derivabile 01--0è in (g cono↳ =E derivabile interno valedestradominio anche sinistradadase èèlo al loin e e :xo ,,f' ' 'Ho( )()) 8 8Xo to== + _Convenzione ""dicendo derivabiledi direintendein fintorno destro indefinita soloè to sitegse un ," "daderivabile destra in xo .EQuindi derivabilechederivabile da) }che in (diremo ènelè destra)0fa xo senso= = .altroesemp.es/ 1e) ✗= ""Rapporto incrementale incentrato xo 0 :={8G+%→÷ ci^Ietf se1¥ > °== = hco1 se-"°+%→line ,±=±e. → ☐ s'ft ( )derivabile (a)destra dada sinistra 1è in 18 00 con ee = = --,derivabileèNONf in ✗ o=aetracouvenziaue.se "" s'limiteil 1) essendo[[ esiste si scrivere] (a) gvale + oO PMo usa nonouna co+ =_ 1][ io-derivabile definizionelasecondoin xo .Desse A''R funzionalitàè di Rderivabile in g)dipiù di (dice funzionesi la fa punto Af →:un→: : ,,' '' derivabiledidei punti èche essendovaloreogni )ad insiemeassocia (ilA in cuiAeag✗ E g× . .,importantiEsempi da imparare→1) derivabileè R)eolx è C- con✗= 'è+[ ^e èè' line èline - 1)(8 =× .= == g-h ho→ o→" ède =2) derivabile)( log8 txè|/× o# con :✗= •8l( È )•8l% f-( " +↳eimeoookthf-loookl-ee.eu ⑦s' eine einA) ±= === Gh ohh a→o o→ →→ o 1E( E)perché log + ~ ✗ È -1§hdefinitivamente saràoper 0→ >→, ,/¥log ¥ È ÈD I/ V-x.to 11 /✗ 1o ++ += > =3) derivabile¥ è)fa :cono✗ *=s' ( ) lineline %"× === = -noa. noo :Èf-D =/ 0✗= - derivazionediRegole aritmeticheoperazioniDerivata1) e derivabili insiano Allora8 xo :e g .'( ' (&( ) )g) ( )a) ft togto co += ' ('b) (( )(g) ') alto)( ) di)( REGOLA) LEIBNITZ88 tog. to cog +xo=l' chec) geoipotesi )con ulteriore sia 7 0 :g'" )(G) 84×0 () Eko ) to) secco( ) . --to = 2]gcxo )[dire )) gcxo81×1+84 Seko( ) )( g)(( )g) ftft × co ---a) == X lo✗ to -- )(fa flxo)) )84 8 to- '- s' ) )(( ☒to g xo++= ;✗ ✗ tolo ✗- →- [ [8K) ]) ]8A )94)) ) toccofcx) 840 glio gcx )gcx )940 )b) +- -- == loXto✗ -- )84 qo) ") &&- - s')(' ) )) gcxo)( (gcxo () tofg tog× co += >+µ← lo✗ ✗ lo- → )è )derivabileil incheè faallora Seko) )Bv. fatto Seccogcxusatosi lose →oxo →. -, , holo ✗✗ →→perchéQuesto incrementalerapportoil :8H¥ chepuò essendosololimite Seko)84 )finito ✗ lo0 oavere se →→ -,- ✗ xo to→ ✗ → Baevitiamo dic) d'unfareoraper elementariderivazione funzioniRegole di per2) " è I/blogde ¥ I¥ DIf-D✗ 1=0✗ ✗✗ per= sgu= = =- ,,↳ dii valoritutte hacui✗per per senso( )DC èdove costantefunzione0 c una= 1DX = a -1'DX ✗ ✗=D ×✗ consen =D ✗cos sen ×= - 1-tanktgD 1 +✗ == cosa ×÷D cotg ✗ = _ 1Darsele ✗ = E:#Davos ✗ = 1D artg ✗ = 21 + ✗ChextaxD = ShxChaD = ? ÷ThxD Th1 ✗= =-1¥SlashD ✗ = 1seltclrx☐ = È1SelttlrxD = 21- ✗ valideB espressioniregolev. Tutte valori di hannolei qualiqueste iper sensoper×sono. ,il chesinistra destramembrosia aper a )di della catena3) derivata (funzione regolacompostaTeorema sulla oderivabilederivabile derivabile8sia valeèin )sexo gof inAllorain xoe yoxo eg := .'( ( s' )) ' )8) Cxo( )840to ggo = .Esempi )(D 3 0+1 +1cosi cosxselext✗+ += = ( )f)(funzione composta (3×+1)8K)×go con :' =•6+1>(3×+1)[ ( ]✗D = toLt)ÉTÉ 8 =' '• )[(3×+1) (( ) )D d+1+1 ✗✗ + == . . + +(3×+1)+-3 3×6 5+4×6' •[6×5 6×571 (3×+1))(3×+1) ] ((3×+1) ((3×+1) ( 8 ✗ 6-24 +1 4)✗✗ ) ++ +== =+= ..(3×+1)=(7×6++5+4)6= diparticolareCaso Leibniz :( ) )) D84 84D c.c. = log ×( 1-÷1 D DD logzx 11 logx)✗ + + ++= == 2log✗ -> }) > > } ?( ¥?✗log log 3lag loglogD log1 logDXD 3××✗ ✗✗✗ × ×✗ = ++.=+= teorema che dimostreremo futuroinAnticiperanno un ,condizione )alla( sufficiente monotoniateorema ' (a)( sull') )b) b)((a) strettamente8 ] derivabile crescentesia C AlloraEin 8[ ,b lo è✗E 8 × ocona >, .][ < [ decrescente ]][intervallo ,ba .À4)' 0<&Esempio -2×2 2)" 2-? ()fcx ×✗ ✗==studiare la dideterminaremonotonia estremopuntie4×3-2.2À 2-) ( 1)( Gx× ✗ ✗= =>4×70 70✗⇐2-✗ V1 71E 1)o> ✗⇐ ✗ - 1°1- ¥ f- è.. -. .-- . .. \\ //In teoremabase al :[ ,µ,è nog »umana su e ,] [twè ]decrescente 0,1-1g su e,di✗ è minimo-1 puntoun= diè massimopunto✗ uno= di minimopuntoè1✗ un=Inoltre )è perché )fcxpari Ilse: × =-2- FaE ✗)SCX vo o> -1-0 <2> ⇐ ⇐ ✗)n✗ > >✗ -continuità limitedimetricadefassomiglia alla . ,Def diversaèmaq SKIJRIRf a c- →sia : {è 18'idetta 'sisolocontinua s→ )E × "c- <"si a "" °e >se se °- -i AE✗ def limitenella di non.considero iuxosuccedecos a ,invece definitaqui sei inE+ flxo)consideroquindiloEsuo) - ,imminente qq.sk)non ee _ .,S✗o - ✗ oRicordiamo : )/ )E E18h E ) suo) 8kfcxo) E <Seogcx) ) E suo +< <> <⇐ <- ---Teorema IRRc-a8sia →: di a)didiaaccumulazione chesia puntooltrepunto (A Alloraxo c- :.in )Seoè continua )line Sixlo to =l o✗ →dive sia lo continua )(in allora :xo• ,I (/E Jd )flx ( E E+ Ig ma0> )) <f: to×xo, - {valeIn particolare }/) vale Ispo)Ifcx )E<fcxo E✗ lonai-)Perciò 81×0line gcx) =✗ xo→ 0M .Secco) c'line ( )allora relazione moltoèsia fa > : ⇐ una• = ,to✗ → { }8 differisconoE lacto184 E) () Is/ stretta)3- soloti<> xoc-0 ma ico: - ,., EIper (18 /) ) 8GWSeo gcxo) < te) /to O per×✗ : = == .- -Dunque (ancheE in) ) )Seko (18K /) IsC- ma< coto✗-cioè è continua8 in ☒xo allora èA di accumulazioneè continuadiOss A certamentepuntose loc- nonma✗o ,. .,Dely continua f èdièBè dominioche solo Bdice E continuaSi A dove Keosi loA in c-su e xosese .,, ,) )dice(ciò anche BdiBCSe si verifica (classe (E chescrive lo &egr