Blocco 1 Modelli di sistemi biologici - Fondamenti di modelli matematici

Blocco 1 - Fondamenti dei modelli matematici

Appunti completi per l’esame orale

Preparazione da MODELLI APPUNTI.pdf

Pagine di riferimento: pp. 1-7 del PDF.

Questo fascicolo raccoglie i concetti fondamentali da saper esporre all’orale: definizione

di modello, scopi, costruzione, validazione, classificazione e ripasso di geometria,

automatica e biosegnali.

Indice

Mappa del blocco 3

1 Che cos’e un modello matematico 3

1.1 Il modello dipende dalla domanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Semplificazione, realismo e utilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Perche si costruisce un modello 4

2.1 Descrivere formalmente un fenomeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Valutare ipotesi alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Stimare grandezze non direttamente accessibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Progettare esperimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.5 Simulare il comportamento del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.6 Classificare soggetti e definire protocolli terapeutici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Modelli descrittivi, interpretativi e predittivi 5

3.1 Modello descrittivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Modello interpretativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 Modello predittivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Processo di costruzione di un modello 7

4.1 Concettualizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.2 Realizzazione matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.3 Risoluzione del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.4 Identificazione del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.5 Validazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

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Modelli di Sistemi Biologici Appunti per orale

5 Validazione interna ed esterna 8

5.1 Validazione interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.2 Validazione esterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

6 Classificazione dei modelli 9

6.1 Statico e dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6.2 Deterministico e stocastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6.3 Tempo-invariante e tempo-variante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6.4 Lineare e non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6.5 Tempo continuo e tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6.6 Parametri concentrati e distribuiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

7 Ripasso di geometria, automatica e biosegnali 10

7.1 Forma di stato e matrice degli stati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

7.2 Autovalori e modi del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

7.3 Stabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

7.4 Movimento libero e movimento forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

8 Funzione di trasferimento, poli, zeri e risposta impulsiva 11

8.1 Funzione di trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

8.2 Risposta impulsiva e convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

8.3 Poli e zeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

8.4 Sistema proprio e strettamente proprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

8.5 Risposta in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

9 Scheda finale del Blocco 1 14

10 Mini-interrogazione 14

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Modelli di Sistemi Biologici Appunti per orale

Mappa del blocco

Cap. Argomento Pagine

1.1 Che cos’e un modello matematico p. 1

1.2 Perche si costruisce un modello pp. 1-2

1.3 Modelli descrittivi, interpretativi e predittivi p. 2

1.4 Processo di costruzione di un modello p. 3

1.5 Validazione interna ed esterna p. 3

1.6 Classificazione dei modelli p. 4

1.7 Modelli dinamici, stato, autovalori e stabilita p. 5

1.8 Funzione di trasferimento, poli, zeri e risposta impulsiva pp. 6-7

1 Che cos’e un modello matematico

Riferimento PDF: MODELLI APPUNTI.pdf, p. 1.

Obiettivo del capitolo

Capire che un modello matematico non e una copia della realta, ma una rappresentazione

semplificata costruita per rispondere a una domanda precisa.

modello matematico

Un e una rappresentazione semplificata della realta costruita mediante

semplificata:

strumenti matematici. La parola chiave e modellizzare non significa descrivere ogni

dettaglio del sistema reale, ma scegliere gli aspetti rilevanti rispetto allo scopo dello studio.

In particolare, nei sistemi biologici la realta e troppo complessa per essere descritta completamente.

Un organismo contiene molti organi, tessuti, cellule, reazioni biochimiche, trasporti, feedback e

variabilita individuale. Il modello serve quindi a isolare una parte del problema e a descriverla in

modo coerente.

1.1 Il modello dipende dalla domanda

Prima di costruire un modello bisogna chiedersi:

qual e la domanda a cui voglio rispondere?

Lo stesso sistema puo essere rappresentato da modelli diversi. Per esempio, il corpo umano puo

essere modellizzato come:

• un solo compartimento, se voglio una descrizione semplice dell’eliminazione di un farmaco;

• due compartimenti, se voglio distinguere distribuzione ed eliminazione;

• un modello PBPK, se voglio rappresentare organi, tessuti e portate sanguigne;

• un modello di popolazione, se voglio descrivere la variabilita tra soggetti.

Il sistema reale e lo stesso, ma cambia l’obiettivo. Quindi non esiste il modello assoluto di un sistema:

esistono modelli piu o meno adeguati rispetto a una domanda.

1.2 Semplificazione, realismo e utilita

Un modello troppo semplice rischia di non descrivere il fenomeno. Un modello troppo complesso rischia

invece di essere difficile da identificare, stimare e validare. La modellistica cerca un compromesso tra:

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