Blocco 4 Modelli di sistemi biologici - Identificazione e Identificabilità

Blocco 4

Identificazione e identificabilita’ dei

modelli

Dispensa di studio per esame orale

Basata su MODELLI APPUNTI.pdf, pp. 32–37 circa

Come usare questo file

Questa dispensa e’ pensata per l’orale: ogni capitolo contiene spiegazione discorsiva,

formule essenziali, esempi, risposta pronta, domande probabili ed errori da evitare.

Il blocco copre la parte del PDF dedicata a identificazione, identificabilita’ a priori,

funzione di trasferimento, sommario esaustivo, modelli non lineari e criteri strutturali.

Modelli di Sistemi Biologici

Blocco 4 - Identificazione e identificabilita’ Modelli di Sistemi Biologici

Indice

Mappa rapida del blocco 2

1 Capitolo 4.1 - Che cosa significa identificare un modello 3

1.1 Punto di partenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Definizione operativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Esempio: modello monocompartimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Identificazione, costruzione e validazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Modelli ingresso-uscita e modelli strutturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Identificazione e identificabilita’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Capitolo 4.2 - Predizione del modello, osservazioni sperimentali e rumori 6

2.1 Predizione del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Osservazioni sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Perche’ dati e predizioni non coincidono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Identificazione come ottimizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.6 Perche’ non bisogna interpolare il rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.7 Approcci alla stima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.8 Analisi dei residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Capitolo 4.3 - Identificabilita’ a priori 9

3.1 Significato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Mappa parametri-uscita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 Parametri osservabili e strutturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.4 Non basta conoscere perfettamente la curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.5 Dipendenza dalla relazione ingresso-uscita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.6 A priori vs a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.7 Come si risolve una non identificabilita’ a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Capitolo 4.4 - Identificabilita’ globale, locale e non identificabilita’ 12

4.1 Tre casi possibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2 Identificabilita’ globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.3 Identificabilita’ locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.4 Non identificabilita’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.5 Combinazioni identificabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.6 Conseguenze pratiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Capitolo 4.5 - Identificabilita’ nei modelli lineari tramite funzione di trasferimento 14

5.1 Funzione di trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1

Blocco 4 - Identificazione e identificabilita’ Modelli di Sistemi Biologici

5.2 Perche’ serve per l’identificabilita’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.3 Parametri osservabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.4 Poli, zeri e cancellazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.5 Procedura generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.6 Esempio 1: monocompartimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.7 Esempio 2: due uscite da un compartimento ma una sola misura . . . . . . . . . . . 15

5.8 Esempio 3: bicompartimentale classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.9 Limite del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6 Capitolo 4.6 - Sommario esaustivo ed equazioni algebriche sui parametri 18

6.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.2 Come si costruisce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.3 Il sommario puo’ essere non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.4 Classificazione tramite sommario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.5 Esempio identificabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.6 Esempio non identificabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.7 Esempio localmente identificabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.8 Utilita’ progettuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7 Capitolo 4.7 - Come rendere identificabile un modello 21

7.1 Problema strutturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.2 Due strategie principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.3 Arricchire l’esperimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.4 Problema dell’invasivita’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.5 La misura aggiuntiva puo’ introdurre parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.6 Semplificare il modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.7 Semplificare non significa forzare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.8 Problemi a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

8 Capitolo 4.8 - Identificabilita’ nei modelli non lineari: sviluppo di Taylor 24

8.1 Perche’ non uso la funzione di trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

8.2 Perche’ non basta linearizzare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

8.3 Metodo: sviluppo di Taylor dell’uscita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

8.4 Analogia con il sommario esaustivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

8.5 Esempio: bolo unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8.6 Esempio: bicompartimentale con eliminazione Michaelis-Menten . . . . . . . . . . . 25

8.7 Quante derivate servono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8.8 Basse dosi e linearizzazione di Michaelis-Menten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

8.9 Metodo teorico, non algoritmo pratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2

Blocco 4 - Identificazione e identificabilita’ Modelli di Sistemi Biologici

9 Capitolo 4.9 - Criteri strutturali: catenari, mammellari e input-output connessio-

ne 27

9.1 Perche’ criteri strutturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

9.2 Modelli catenari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

9.3 Interpretazione dei catenari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

9.4 Modelli mammellari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

9.5 Interpretazione del fattoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

9.6 Combinazioni catenarie e mammellari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

9.7 Input-output connessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

9.8 Condizione necessaria ma non sufficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

9.9 Collegamento con raggiungibilita’ e osservabilita’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Chiusura del Blocco 4 - Mini-scheda finale 30

3

Blocco 4 - Identificazione e identificabilita’ Modelli di Sistemi Biologici

Mappa rapida del blocco

Il blocco 4 affronta una domanda fondamentale: una volta scritta la struttura del modello, i parametri

possono davvero essere ricavati dai dati? La sequenza logica e’:

−→ −→ −→

modello scelto parametri incogniti identificabilita’ stima parametrica

L’identificabilita’ viene prima della stima: prima di applicare un algoritmo numerico, bisogna capire

se il problema e’ teoricamente risolvibile.

Capitolo Tema Pagine

4.1 Che cosa significa identificare un modello p. 32

4.2 Predizione del modello, osservazioni sperimentali e rumori pp. 32–33

4.3 Identificabilita’ a priori: significato e condizioni ideali pp. 33–34

4.4 Modelli globalmente identificabili, localmente identificabili e non pp. 34–35

identificabili

Identificabilita’ nei modelli lineari tramite funzione di pp. 34–35, ri-

4.5 trasferimento chiamo p. 6

4.6 Sommario esaustivo ed equazioni algebriche sui parametri pp. 34–35

4.7 Come rendere identificabile un modello: semplificare o arricchire pp. 35–36

l’esperimento

4.8 Identificabilita’ nei modelli non lineari: sviluppo di Taylor p. 36

pp. 36–37

4.9 Criteri strutturali: modelli catenari, mammellari e input-output

connessione

Da ricordare. Il blocco 4 non e’ ancora il blocco della stima numerica. Qui si studia se, anche

in condizioni ideali, i parametri sono distinguibili dalla relazione ingresso-uscita.

4

Blocco 4 - Identificazione e identificabilita’ Modelli di Sistemi Biologici

1 Capitolo 4.1 - Che cosa significa identificare un modello

Riferimento PDF: MODELLI APPUNTI.pdf, p. 32.

1.1 Punto di partenza

identificazione,

Quando si parla di il modello e’ gia’ stato costruito. Quindi sono gia’ stati scelti:

• le variabili di stato;

• le equazioni differenziali;

• gli ingressi;

• le uscite misurate;

• la struttura dei flussi;

• le ipotesi lineari o non lineari.

Quello che non e’ ancora noto sono alcuni valori numerici dei parametri. Per esempio, se il modello

e’: dQ(t) Q(t)

−kQ(t), C(t) ,

= =

dt V

la struttura e’ fissata, ma potrei non conoscere:

k, V.

Identificare significa determinare questi parametri usando i dati sperimentali.

1.2 Definizione operativa

Indichiamo con: T

h i

p p . . . p

p = r

1 2

il vettore dei parametri incogniti. Il modello produce una predizione:

y(t, p),

e l’identificazione cerca un valore stimato: p̂

che renda la predizione coerente con le osservazioni.

In modo sintetico:

identificazione = uso i dati per determinare i parametri del modello scelto.

1.3 Esempio: modello monocompartimentale

D:

Dopo un bolo endovenoso di dose nota D −kt

C(t) e .

= V

Se raccolgo misure di concentrazione: z , z , . . . , z m

1 2

agli istanti: t , t , . . . , t ,

m

1 2

V k

l’identificazione cerca e tali che: D −kt

e i

V

z

sia vicino alle osservazioni .

i 5

Blocco 4 - Identificazione e identificabilita’ Modelli di Sistemi Biologici

1.4 Identificazione, costruzione e validazione

Non bisogna confondere tre fasi diverse:

costruzione del modello:

• scelta di struttura, variabili, flussi ed equazioni;

identificazione:

• determinazione dei parametri incogniti della struttura gia’ scelta;

validazione:

• verifica che il modello identificato sia adeguato allo scopo.

La costruzione risponde a: quale modello uso?

L’identificazione risponde a: quali valori hanno i parametri?

La validazione risponde a:

il modello funziona abbastanza bene per lo scopo previsto?

1.5 Modelli ingresso-uscita e modelli strutturali

L’identificazione puo’ riguardare modelli ingresso-uscita o modelli strutturali.

modelli ingresso-uscita u(t)

Nei interessa descrivere direttamente il legame tra ingresso e uscita

y(t): y(t) h(t, u, p).

=

Per esempio: −α −α

t t

y(t) A e A e .

1 2

= +

1 2

A , A , α , α

Qui i parametri sono .

1 2 1 2

modelli strutturali,

Nei invece, i parametri hanno spesso significato biologico o fisiologico. Per

esempio, nel bicompartimentale: −(k

Q̇ k k Q ,

= + )Q +

1 12 10 1 21 2

−

Q̇ k Q k Q ,

=

2 12 1 21 2

Q

1

C .

=

1 V 1

k , k , k , V

Qui i parametri hanno interpretazione strutturale.

12 21 10 1

1.6 Identificazione e identificabilita’

L’identificazione e’ una procedura. L’identificabilita’ e’ una proprieta’.

identificazione = procedura per stimare i parametri,

identificabilita’ = possibilita’ teorica di ricavarli in modo univoco.

Un algoritmo puo’ dare sempre un numero, ma quel numero ha significato solo se il parametro e’

realmente distinguibile dai dati e dalla struttura del modello.

Risposta orale pronta

L’identificazione di un modello e’ la fase in cui, avendo gia’ definito la struttura del modello e le

sue equazioni, si determinano i valori dei parametri incogniti a partire dai dati sperimentali. Non

sto scegliendo la forma del modello: sto scegliendo i parametri della forma gia’ scelta. Il modello

y(t, p),

produce una predizione mentre i dati sono osservazioni sperimentali discrete e rumorose.

L’identificazione consiste nel trovare il vettore di parametri che rende la predizione del modello il

piu’ possibile coerente con i dati. Va distinta dalla costruzione del modello e dalla validazione.

6

Blocco 4 - Identificazione e identificabilita’ Modelli di Sistemi Biologici

Domande probabili

• Che cosa significa identificare un modello?

• Qual e’ la differenza tra costruzione del modello e identificazione?

• Qual e’ la differenza tra identificazione e validazione?

• L’identificazione si puo’ fare anche su modelli fisiologici complessi?

• Che differenza c’e’ tra identificazione e identificabilita’?

Errori da evitare

• Dire che identificare significa costruire il modello da