Automatica, teoria

TEORIA AUTOMATICA

Classifi cazione dei sistemi

Sistemi continui e discreti:

 Sistema a tempo continuo

o Ingresso e uscita sono segnali continui

 L’evoluzione dello stato è rappresentata con una serie di equazioni

 differenziali

Sistema a tempo discreto

o Ingresso e uscita sono segnali discreti, ovvero sequenza di valori misurati

 ad intervalli

L’evoluzione dello stato è rappresentata con una serie di equazioni alle

 differenze

Sistemi SISO e MIMO e varianti: prima classificazione

 Single Input Single Output: ingresso e uscita sono scalari

o Multiple Input Multiple Output: ingresso e uscita sono vettoriali

o SIMO

o MISO

o

Sistemi tempo-varianti e tempo-invarianti: seconda classificazione

 () )

Sistema tempo-variante: se e dipendono esplicitamente dalla

f g(

o variabile temporale

( )=x ( ) ( )

+1 +2

x t t u t

 () )

Sistema tempo-invariante: se e non dipendono esplicitamente dalla

f g(

o variabile temporale

( )=x ( ) ( )

+1 +2

x t t u t



Sistemi lineari e non lineari: terza classificazione

 ( ) ( )

() )

Sistema lineare: se e sono lineari in e , ovvero non

x t u t

f g(

o dipendono dal tempo

( )=x ( ) ( )

+1 +2

x t t u t

 ( ) ( )

()

Sistema non lineare: : se e non sono lineari in e ,

x t u t

f g()

o ovvero dipendono dal tempo

2 2

( )=x ( ) ( )

 +1 +2u

x t t t

Sistemi propri e strettamente propri: quarta classificazione

 ( )

) u t

Sistema proprio: se dipende esplicitamente da , ovvero D≠ 0

g(

o ( )=x ( ) ( )

+2

y t t u t

 ( )

)

Sistema strettamente proprio: se non dipende esplicitamente da ,

u t

g(

o D=0

ovvero ( )=x ( ) ( )

+1 +2

x t t u t



Sistemi Lineari Tempo-Invarianti SISO: LTI-

SISO Movimento dello stato:

 t

∑

t t− j

( )= ( )

+

x t A x A Bu j−1

0 j=1 t

( ) =

x t A x

o 0

movimento libero dello stato:

x

Dipende solo da

 0

Andamento definito da A

 ( ) =0

Movimento ottenuto con u t

 t

∑ t− j movimento forzato dello stato:

( )= ( )

x t A Bu j−1

o j=1 ( )

u t

Dipende da

 Andamento definito da e

A B

 =0

x

Movimento ottenuto con

 0

t

∑ −

t t j

( )=CA ( ) ( )

+C +

Movimento dell’uscita:

 y t x A Bu j−1 Du t

0 j=1

t

( )=CA movimento libero dell’uscita

y t x

o 0

t

∑ −

t j movimento forzato dell’uscita

( )=C ( ) ( )

+

y t A Bu j−1 Du t

o =1

j ( ) =ú

Equilibrio: è uno stato di equilibrio in corrispondenza di se il movimento

x́ u t

 ( )=x́ ( )=x́

x 0 x t

dello stato con condizione iniziale risulta

Stabilità: proprietà per cui il sistema, dopo una perturbazione, tende a tornare nella

 situazioni iniziale

Stabilità: la perturbazione del movimento è limitata

o Instabilità: la perturbazione del movimento diverge tendendo all’infinito

o Asintotica stabilità: la perturbazione del movimento tende asintoticamente a

o zero

Trasformata Z ∞

∑ −t −1 −2

[ ]

( )=Z ( )= ( ) ( ) ( ) ( )

=f +f + +

F z f z f t z 0 1 z f 2 z …

Definizione: t=0 ∞

{

0 se t ≠ 0 ∑ −t