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Sistemi dinamici

I sistemi dinamici sono modelli matematici utilizzati per descrivere l'evoluzione di un sistema nel tempo. Questi modelli possono essere rappresentati da equazioni differenziali o a differenze finite, e sono costituiti da variabili di ingresso (u), di uscita (y) e di stato (x).

Variabili di ingresso e uscita

Le variabili di ingresso (u ∈ ℝ^m) sono quelle variabili che influenzano il comportamento del sistema. Le variabili di uscita (y ∈ ℝ^p) sono invece quelle variabili che rappresentano la risposta del sistema agli ingressi, influenzate anche dallo stato interno del sistema.

Variabili di stato

Le variabili di stato (x ∈ ℝⁿ) descrivono lo stato interno del sistema e sono utilizzate per determinare l'uscita insieme alle variabili di ingresso.

Equazioni di stato

Le equazioni di stato descrivono l'evoluzione delle variabili di stato nel tempo. In tempo continuo, l'equazione di stato è rappresentata come:

^.x(t) = f(x(t), u(t), t)

La trasformazione di uscita è data da:

y(t) = g(x(t), u(t), t)

Tempo continuo e discreto

In un sistema a tempo continuo, il tempo è rappresentato come una variabile continua. In un sistema a tempo discreto, il tempo è rappresentato da una variabile discreta, di solito indicata con k al posto di t.

Sistemi SISO e MIMO

Un sistema è denominato SISO (Single Input Single Output) quando ha un solo ingresso (m = 1) e una sola uscita (p = 1). Un sistema MIMO (Multiple Input Multiple Output) ha invece ingressi e uscite multiple.

Sistemi strettamente propri e stazionari

Un sistema è strettamente proprio se la sua funzione di trasferimento non dipende dall'ingresso. Nei sistemi stazionari, le funzioni f e g non dipendono dal tempo.

Sistemi lineari e stazionari

Nei sistemi lineari, l'equazione di stato è descritta da:

^.x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)

e l'uscita da:

y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)

In un sistema lineare e stazionario, le matrici Δ, B, C, e D sono costanti.

Equilibrio

Un sistema si trova in equilibrio quando le variabili di stato non cambiano nel tempo, ovvero:

In tempo continuo:

^.x(t) = 0 ⇒ 0 = f(x̄, ū)

In tempo discreto:

x̄ = f(x̄, ū)

Formula di Lagrange

In tempo continuo, nel caso scalare, l'equazione è:

^.x(t) = a x(t) + b u(t)

y(t) = c x(t) + d u(t)

Movimento dello stato e dell'uscita

Il movimento dello stato in un sistema lineare è descritto da:

X(t) = e^A(t-t₀) X_o + ∫_t₀^te^A(t-z)B u(z) dz

Il movimento dell'uscita è dato da:

Y(t)= C e^A(t-t₀) X_t₀ + ∫_t₀^tC e^A(t-z) B u(z) dz + D u(t)

Esponenziale scalare e matriciale

L'esponenziale scalare è rappresentato da:

a^at = 1 + at + (at)²/2! + … = ∑_i=0^∞ 1/i! (at)ⁱ

L'esponenziale matriciale è dato da:

e^At = (J^-1 e^Jt J)(S(-t)-A)^-1