Appunti Teoria e dinamica delle strutture - Piastre

Piastre

Reticolo ideale costituito da ∞ travi con base infinitesima e spessore finito.

Ipotesi

1. Carico applicato staticamente
2. Spostamenti e deformazioni infinitesimi
3. Piastra sottile rispetto alle dimensioni in pianta
4. Legge costitutiva elastica e lineare

Sist. rif. con origine nel piano medio.

i e j versori degli assi x e y.

w = spostamento verticale lungo z, superficie elastica.

ϑ_x = rot. normale allo spessore uscitura all'asse y.

α_x = angolo tra tangente alla def. piano medio e asse y.

γ_x2 = scorrimento angolare.

Se la piastra è sottile, la deformabilità tagliante è nulla, dunque non nulli gli scorrimenti angolari.

Piastre

Reticolo ideale costituito da ∞ travi con base infinitesima e spessore finito.

Ipotesi

1. Carico applicato staticamente
2. Spostamenti e deformazioni infinitesimi
3. Piastra sottile rispetto alle dimensioni in pianta
4. Legge costitutiva elastica e lineare

Sist. rif. con origine nel piano medio.

i e j versori degli assi x e y.

w - spostamento verticale lungo z, superficie elastica.

φ_x = rot. normale allo spessore uscitura all'asse y.

α_x = angolo tra tangente alla def. piano medio e ass. y.

γ_xz = scorrimento angolare.

Se la piastra è sottile, la deformabilità tagliante è nulla, dunque non nulli gli scorrimenti angolari.

Cinematica della deformazione

δ_xz = Φ_x + α_x

δ_yz = Φ_y + α_y

→ δ_xz = Φ_x + W_,x

δ_yz = Φ_y + W_,y

Poiché hp: piccoli spostamenti e rotazioni:

τ dx = α_x ; τ dy = α_y

Dunque α_x = W_,x e α_y = W_,y

Nelle Ipotesi di Love-Kirchhoff si trattano piastre sottili, dunque γ_xz = γ_yz = 0;

Dunque Φ_x = - W_,x

Φ_y = - W_,y

Rotazioni

Spostamenti:

U = -z · W_,x

N(sub) U,x = W,x per piccole rotazioni.

V = -z · W_,y

U= ⁰__U - z ^{{W, x}}__{{W, y}} ⁰_₀

Un segmento al piano medio in conf. indef. , in conf. deformata si mantiene e mantiene la sua lunghezza, infatti non dipende da : ogni suo punto si sposta della stessa quantità.

Tutti i punti fuori dal piano medio hanno spostamento anche lungo e . definisce tutti e 3 gli spostamenti.

Curvature nel piano

_x = ¹/_x = _x,x = −_,xx

_y = ¹/_y = _y,y = −_,yy

_xy = ¹/_xy = _x,y = _y,x = −_,xy

Stato di deformazione

ε̄ = ¹/₂ ( ∇; + ∇^T )

_ij = ¹/₂ ( _i,j + _j,i )

_x = _,x − · _,xx = · _x

_y = _,y − · _,yy = · _y

_xy = ^{_,x + _,y}/₂ = − · _,xy = · _xy

Stato di tensione

Dall'ip. di piastre sottili si assume σ_z nulla nello spessore.

σ = [_{σx τxy τxz}]      [_{τxy σy τyz}]      [_{τxz τyz} 0]

Le uniche tensioni tangenziali staticamente determinate sono le τ_xy, mentre τ_xz e le τ_yz nascono per equilibrio, NON SONO COSTITUTIVAMENTE DETERMINATE PERCHÉ γ_xz = γ_yz = 0.

Azione flettente unitaria

M_x = ∫_-h/2^h/2 z · σ_y dz                    inflessione nel piano Π_xz

M_y = ∫_-h/2^h/2 z · σ_x dz                    inflessione nel piano Π_yz

Azione torcente unitaria

M_xy