Appunti Teoria e dinamica delle strutture (1)

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Appunti di Teoria e dinamica delle strutture. Argomenti iniziali relativi alla dinamica delle strutture:- Oscillazioni libere- Forzante sinusoidale- Smorzamento - Oscillatore semplice con …

Esame Teoria e dinamica delle strutture

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Dal Corso Francesco

Università Università degli Studi di Trento

A.A. 2022-2023

76 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Dinamica

Seconda legge di Newton

∑_i F_i = m ¨x(t)

x(0) = x_o

¨x(0) = ¨x_o

Eliminando l'ip. di carichi applicati in modo quasi statico, si ha una risultante delle forze ≠ 0 che corrisponde alla forza di inerzia.

Si ottiene un'eq. differenziale che deve essere accompagnata da condi. al contorno.

Su un mrr. continuo:

div σ(x,t) + b(x,t) = δ ü(x,t)

σ^o(x,t) = Ξ(x) - Ξ(x,t)

Ξ(x,t) = ∇ u(x,t) + (1/2) ∇ T(x,t)

Se avessi ü(x,t) → 0 e ¨x(t) → 0 avrei un problema quasi statico.

F(t) = 0 per t < 0

F · t/tr per t ε (0;tr)

F per t > tr

Dinamica

Seconda legge di Newton

∑ F_i = m ẍ(t)

x(0) = x_o

ẋ(0) = ẋ_o

Eliminando l'ip. di carichi applicati in modo quasi statico, si ha una risultante delle forze ≠ 0 che corrisponde alla forza d'inerzia.

Si ottiene un'eq. differenziale che deve essere accompagnata da condi. al contorno.

Su un m.s. continuo:

div σ (x, t) + b (x, t) = δ ü (x, t)

σ^o (x, t) = ½ (∈ (x) - ∈ (x, t))

∈ (x, t) = ∇u (x, t) + ½ ∇^T (x, t)

Se avrò ü (x, t) → 0 o ẍ(t) → 0 avrò un problema quasi statico.

F(t) = { 0 per t tr }

Per avere effetto dinamico la forza deve cambiare nel tempo.

tr = tempo caratteristico della forzante

F fluttua se tr grande e viceversa.

La "quaverdura di tr" è riferita a T₁, tempo caratteristico della struttura, detto periodo fondamentale.

Se tr/T₁ → ∞ risposta quasi statica, effetti dinamici piccolissimi.

Se tr/T₁ non tende a ∞, possibili effetti dinamici.

Modello dinamico

Semplificazioni della realtà

Travi e pilastri 1D
Solai 2D

Problema descritto nella massa, concentrata in un punto.

N=1

q₁(t)

N=2

y(s,t) = y (q₁(t); q₂(t))

N gdl

q(t) = { q₁(t), q₂(t), ..., q_n(t) }

Buona modellazione dinamica già con N=2 o N=3.

Cause degli effetti dinamici

Variazione della forza nel tempo
Modulo variabile
Forza rotante
Forza mobile
Spostamento impresso (sisma)

Quasi statica M(S) = 0

Dinamica M(S,t) ≠ 0

Riguarda di solito elementi non soggetti a M.

Teoria delle piccole oscillazioni

sinΘ ≈ Θ

cosΘ ≈ 1

X = Y_u

Poiché gli angoli di rotazione sono ≪ 1.

Supponiamo legame elastico Forza - Spostamento

F(x) = F(0) + _{dF_dx} _│x=0 X + ¹/₂ _{d²F_dx² _│x=0 X² = KX}

Ne consegue che, a meno del caso K = 0, assumere hp. piccoli spostamenti e legame elastico, implica avere legame elastico lineare.

σ = ^E/_ε

Tutte queste semplificazioni portano ad avere, eg. diff. a coeff. costanti:

Oscillatore semplice

Legge di Newton

F(t) - KX(t) = m Ẍ(t)

m Ẍ(t) + K X(t) = F(t)

ODE 2° ordine, li.i. a coeff. costanti.

Anche per d'Alembert: eq. dinamico considerando le forze d'inerzia perse, dunque m Ẍ(t) come forza d'inerzia.

Sistemi a N gradi: M q̈(t) + K q(t) = F(t)

Sistemi continui: γ(s)·ÿ(s,t) + [EJ(s)y‴(s,t)]‴ = q(s,t)

Sint. n ODE lineari

1 PDE lineare

Moto impresso

Ī(t) = Ug(t) + Δ + X(t)

Ci interessano 2 quantità:

Allungamento molla: X(t) = Ū(t) - Ug(t) - Δ
Accelerazione assoluta massa: Ū(t) = Ǘg(t) + Ẍ(t)

Per la legge di Newton:

-K ẍ(t) = m Ü(t)

m Ü(t) + K x(t) = 0

In termini m spost. assoluto m Ü(t) + K (U(t) - u_p(t) - Δ) = 0 m Ü(t) + K U(t) = K (u_p(t) + Δ) = F₀(t)
In termini m spost. relativo m (ü_p(t) + ẍ(t)) + K x(t) = 0 m ẍ(t) + K x(t) = -m ü_p(t) = F_x(t)

Valutazione della rigidezza K

La rigidezza della struttura è molto più bassa nei confronti degli spostamenti orizzontali:

Dinamica verticale trascurabile quando gli elementi verticali non sono troppo lunghi.

La rigidezza si valuta caricando la struttura lungo il g.d.l. assegnato e calcolan

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