Appunti Teoria delle strutture - Parte 2 (Modellazione della trave: problema assiale)

Modelizzazione della trave: problema assiale

Scriviamo il problema della trave assiale in termini di energia potenziale.

Ipotesi

• Assenza di gradienti di spostamenti
• Materiale elastico lineare isotropo
• Le sezioni trasversali rimangono rigide e piane

Consideriamo uno sezione: problema piano YX

x, y sono gli assi principali di inerzia della sezione. Nel modello trave monodimensionale, le variabili dipendono solo da z. L'ipotesi che introduciamo è che le sezioni trasversali rimangono rigide (non si deformano), quindi rimangono piane.

Le quantità in gioco sono

• W = W(z), spostamento dei punti lungo z
• ε = W', deformazioni (equazioni di incongruenza del modello trave)

Il campo di spostamento è dato da: u = 0, v = 0 e w = W(z). Allora le deformazioni sono:

• ε_x = 0
• ε_y = 0
• ε_z = ∂w/∂z = W'(z)
• γ_xy = 0
• γ_xz = 0
• γ_yz = 0

Problema assiale

Formuliamo il problema della trave assiale in termini di energia potenziale. Consideriamo uno spazio: problema piano YX, con x, y come assi principali di inerzia della sezione. L'ipotesi che introduciamo è che le sezioni trasversali rimangono rigide (non si deformano, non cambiano forma) e piane.

Quantità in gioco

• W = W(z), spostamento dei punti lungo z
• ε = W', deformazioni

Il campo di spostamento è dato da: u = 0, v = 0 e w = W(z). Allora le deformazioni sono:

• ε_x = 0
• ε_y = 0
• ε_z = ∂w/∂z
• γ_xy = 0
• ∂u/∂z = 0
• ∂v/∂z = 0

σ = δ = E ε = E w'. N = ∫_A σ dA = ∫_A E ε dA = ∫_A E A ε. Le costanti dipendono da:

• E, dato del materiale
• A, dato dalla geometria

Per calcolare l'equilibrio considero lo schema V + ΔN - V + δσ_z = 0. ΔN + δσ_z (equazione di equilibrio lungo z). Divido per Δz: ΔN / Δz + δσ_z / Δz = 0. Faccio il limite per Δz → 0: Lim Δz→0 ΔN / Δz + f_z = 0 => dN / dz + f_z = 0. Allora: N' - f (equazione di equilibrio).

Equazioni finali

• Equazione di congruenza ε = w'
• Equazione di equilibrio N' = f
• Legame costitutivo N = E A ε

Le incognite sono: W̄(z), ε(z), N(z). I dati sono: β, ε, A, L. Per il problema dell'equilibrio elastico si può dimostrare che la soluzione esiste ed è unica!

N' = β → (EAε)₁ - β → [EA W̄]'₁ - β → [EA W̄]' ... - βε = N/EA. EA è costante e β è costante allora integro *W̄' = ∫ z + a / EA. Integro un'altra volta. W̄(z) = ∫ z² / EA² + α z + b. Per determinare α e b devo imporre le condizioni al contorno.

Condizioni al contorno

• N₀ - β = 0 in z = 0
• N_L - β = 0 in z = L

Formuliamo lo stesso problema in termini di energia potenziale. Energia potenziale totale: Π(W̄) = Φ(W̄) + Λ(W̄). Φ(ε) = ∫ 1/2 ∫ V ε dV - ∫ 1/2 ∫ V ε₂ dV dove: Φ(ε) = 1/2 ∫ 0^L EA ε² dV - 1/2 ∫ 0^L N²/EA² dV. L'energia interna è questo caso è: Φ (ε) = 1/2 ε NAdz - 1/2 ε² gAdz d(z) = Eε(ζ)ε(z).

Anche il Teorema di duale di Lagrange ci può essere utile. Φ_A = 1/2∫_A Eε²dA dz - 1/2∫_zEAε²dz. Ne consegue che l'energia, l'utenza di una trave di Lagrange è vale: dΦ = 1/2∫ EA [w']² dz (integro solo Lagrange).

Il potenziale dei carichi è: Λ = - ∫₀^ℓ {∫ Wwdz + P_L...}. Quindi l'energia potenziale totale è: Π[w] = Φ + Λ - 1/2∫ EA [w']²dz = {∫∫ Wwdz + P_L - {∫ Wz}.

È un funzionale. Calcolo delle stazionarietà: ott...ta una variazione o Www: wwwα₀ siniSTΠ α: {∫ Mi faccio π.