Appunti di Teoria delle strutture - Parte 3 (problema flessionale di Eulero-Bernoulli)

Modelizzazione della trave: problema flessionaggio di Eulero-Bernoulli

Ipotesi di base

Piccoli gradienti di spostamento

Materiale lineare elastico isotropo

Travi snelle

Ipotesi cinematiche

• La sezione rimane retta e deflessione avviene verso piano e rigida
• La generica sezione retta resta ortogonale alle deformate delle linee d'asse della trave

Equazioni in gioco

Spostamento

M_x = M_z = 0

M_y = v - yφ'(z)

Φ = -v"

Deformazioni

Ex = ∂u/∂x, Ey = ∂v/∂y = 0, Ez = ∂w/∂z

dγyz = ∂v/∂z + ∂w/∂y = 0

dγxz = ∂w/∂x = 0, δyz = ∂u/∂z + ∂w/∂x = 0

δxy = ∂u/∂y + ∂v/∂x = 0

χ = dΦ/dz

εz = -yφ"

Modelizzazione della trave: problema flessione di Eulero-Bernoulli

Parametri di base

Piccoli gradienti di spostamenti

Materiale lineare elastico isotropo

Travi snelle (₁/_D >> 10)

Ipotesi cinematiche

• La sezione rimane retta e deformata avanti resta piana e rigida
• La sezione rimane retta resta ortogonale alle deformate delle linee d'asse della trave

Equazioni in gioco

Spostamento

M_x = M = 0

M_y = v - (_z)

M_z = u₁ - y(₂)φ = v’

Deformazioni

ε_xx = _u/_x, ε_yy = _v/_y, ε_zz = _w/_z

γ_xy = _y/_y + _v/_x = 0

γ_xz = _y/_z + _w/_x = 0

γ_yz = _v/_z + _w/_y - φ = 0

ε = -yφ"

χx = _dz/_d2

ε₂ = -y”ε = -yw"ε = -yv

Tensione

Mi trovo il legame costitutivo di un materiale

T_yz = 0

T_xz = G_yz = 0

G = E / 2(1+v)

T_y = T_z = ∫(T_yzdA) = 0

Caratteristiche della sollecitazione

∫(σ) = ES_x

Se il sistema di riferimento è baricentrico => S = 0 => N = 0

Ricchezza flessionale

Dipende da:

• E dato del materiale
• I dato della geometria

Equilibrio

Mi trovo l'eq. di equilibrio

3 equazioni

Da si ottiene le formula di Navier

M = EIχ => γ = x/δ = γy = χy

L'equilibrio in direzione y è:

T ΔT_z + q Δz = 0

ΔT + q Δz = 0

lim (ΔT / Δz) = -9Δz → Δz^T'

T_{_z} = -9 → EQUILIBRIO LUNGO Y

L'equilibrio a rotazione attorno al polo O è:

- (T + ΔT) (T_z / 2)

T (Δz / 2) + MΔM - μ = 0

-T Δz + ΔM = 0

lim (T + ΔM / Δz) =Δz → o Δz

M'' T→ EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE

Equazioni di equilibrio

{ T' = -9 M'' T = -9 M''→ Eq. di equilibrio

Problema dell’equilibrio elastico

Dati: E, T, I, q

Inconite: U(z), Y(z), M(z)

Le eq sono:

{ Y' = U' → Eq. di congruenza

M = ETY → Legame costitutivo

M'' = -9 → Eq. di equilibrio

La soluzione esiste ed è unica!

Problema in termini di spostamento

M'' = -q → (EIχ'')'' = -q → (EIυ'')'' = -q

Eq. di equilibrio in termini di spostamento

υ'' = -q

L'integrale generale è:

q = cost → G(z) = ₉⁄_24EIz⁴+αz³+βz²+γz+δ

Da qui risulta:

ψ = -σ', χ = -σ'', M = EIχ, T = HT₀-F₀ = 0

Condizioni al contorno

M₀-m₀ = 0

T_L-F_L = 0

M_L-ML=0

13/03/2023

Problema in termini di energia

Definisco l'energia potenziale totale

Π(υ) = Φ(υ) + Λ(υ)

eugeniautericaossa: dV, da di (strutto energia interna per unità di volume)

Φ = ₁⁄₂(σ_xε_xdA+σ_zε_zdA+dAσ_tε_t+ε_cdV)

ευ = εy xc

Φ = ₁⁄₂(δειε dA+⟨σxεx+εzε2⟩dAdt)=₁⁄₂(Eksz εdAdt =₁⁄₂ε dV)

L'utopia fa diventare «vello» qualsiasi₀∫¹ EI(u^'')²dz

Λ = -[₀∫¹q₀udz+F_Lu_L+m₀ϕ_L-F₀u₀-m₀ϕ₀]