Appunti di Teoria delle Strutture - Parte 10 (metodo degli elementi finiti, problema flessionale, assiale+flessionale)

Matlab: Definizione di una directory e gestione dei dati

Definizione e lettura dei dati di input

MATLAB: Devo definire una directory (dove prendo i dati di input) e definisco un file di output. Vi = size(d1, 'coord.txt') → prendo i dati input dalla directory. Load (ui); → carico dati input. Nel = 2; → numero di nodi per elemento.

Tabella dei nodi

Tabella dei nodi: nodo, Nodi, spostamento xyz.

Problema funzionale (EB) 16/05/2023

Eletto formalità: modello EB → Travi sottili h < L. Modello Timoshenko → Travi tozze (se h ≈ L allora EB).

Nella teoria monodimensionale fare assunzioni:

y spostamenti: u → in direzione x ↑ ------------ → in y | w → in z.

Negli elementi finiti sono:

x spostamenti: u → in direzione x asseble | ------------ → in altezze y flessionale | w → in direzione z flessionale fuori dai piani.

Come faccio l'elemento finito?

q2^q3 ^{o---------o e o---------o q}1^q4^. I parametri cinematici sono: φ = 1^{| (non y = -}1⁾ (spostamenti rotazionali flessionale e rotazione) 2 GDL.

Equazioni e forze

σ(x_a) = ³ φ(x_a) = ³ σ(x_b) = ³ φ(x_b) = ³.

Matlab: Devo definire una directory (dove prendo i dati di input).

Definisco un file di output: ui = uicontrol (uicontrol.txt) -> prendo i dati input dalla directory. Load (ui): -> carico dati input. Vel = 2; -> integrale dei nodi per elemento.

Tabella dei nodi e problema funzionale (EB)

Tabella dei nodi: nodo, Nodi, spostamento.

Problema funzionale (EB) 16/05/2023. Eletto funzionale. Modello EB -> Travi sottili h in direzione x v -> in direzione y w -> in direzione z.

Negli elementi finiti amo: spostamenti: u -> in direzione x ovariov -> in direzione y flessionale w -> in direzione z flessionale fuori del piano.

Parametri e interpolazione

Parametri cinematici sono: 2 GDL.

Le forze sono:

• Q₁^e = T(X_A)
• Q₂^e = -M(X_A)
• Q₃^e = -T(X_B)
• Q₄^e = M(X_B)

Convenzione: Posizione positiva → rotazione positiva.

σ(x) = u₁ψ₁(x) + u₂ψ₂(x) + u₃ψ₃(x) + u₄ψ₄(x).

φ(x) = t₁(x)u₁ψ₁(x) + t₂(x)u₂ψ₂(x) + t₃u₃ψ₃(x) + t₄u₄ψ₄(x).

Condizioni e interpolazione

Devo imporre delle condizioni: Voglio che: σ(X_A) = u₁ e che φ(X_A) = u₂.

σ(X_B) = u₃ e che φ(X_B) = u₄.

Allora: ψ₁(X_A) = 1   ψ₁(X_B) = 0.

ψ₂(X_A) = 0   ψ₂(X_B) = 1.

Quindi: σ(X_A) = u₁ ⇒ ψ₁(X_A) = 1   ψ₂(X_A) = 0   ψ₃(X_A) = 0   ψ₄(X_A) = 0.

φ(X_A) = u₂ ⇒ ψ₁(X_A) = 0   ψ₂(X_A) = 1   ψ₃(X_A) = 0   ψ₄(X_A) = 0.

σ(X_B) = u₃ ⇒ ψ₁(X_B) = 0   ψ₂(X_B) = 0   ψ₃(X_B) = 1   ψ₄(X_B) = 0.

φ(X_B) = u₄ ⇒ ψ₁(X_B) = 0   ψ₂(X_B) = 0   ψ₃(X_B) = 0   ψ₄(X_B) = 1.

Allora: ψ_i(x) = a_i + bx + cx² + dx³.

Ottengo dei polinomi di interpolazione → polinomi di Hermite.

Energia potenziale totale

Π(g) = _A^B ½E(x)u''(x)²dx - _A^B qusdx - _A^{B [(s₂ψ₂(λ) - s₂ψ₂(A) + s₃ψ₃(λ) + s₄ e ψ₄(λ))] ⋅ dx.}

Approssimazione τ = s₁ ψ₁(λ) + s₂ψ₂(λ) + s₃ψ₃(λ) + s₄ψ₄(λ).

u = s₂ψ₂(x) + s₃ψ₃(x) + s₄ψ₄(x).

χ = φ' - s₁'' - s₂ψ₁(x) + s₂ψ₂(x) + s₃ψ₃(x) + s₄ψ₄(x).

Campo in tensione κ₀

Φ = &frac13; _xA^x_B Eτ((u')²)dx = ¹⁄.