Appunti di Teoria delle strutture - Parte 5 (problema flessionale di Timoshenko)

AA(i,j)=diff(eq(i),umks(j)); end end det_AA=det(AA) Nc= eval(subs(det_AA)) “subs” calcolo simbolico involucro numerico

Modello Timoshenko

Hp. piccoli gradienti di spostamenti materiale elastico lineare isotropo.

Le travi sono tolte se L>10D. Per esse non vale il modello di: Eulero-Bernoulli. Nel caso di travi snelle L_s=D il modello di Timoshenko tende il modello di Eulero-Bernoulli.

Il modello di Timoshenko ha curve forti curvatura. Le generica sezione resta a deformazione evidente retta piano e Nota per yz - u(x,y,z)=0.

Spostamenti

u(x,y,z)=u-s-uf(z) w(x,y,z)=ws-yφ(z) u(z) e φ(z) sono funzioni multiplicative.

Deformazioni

Ex−=−ux Ey−=−uy Ez−=−uz ξxy=-∂u/∂x;_{(eq.di covarianza)} ξxz=∂x=∫divξxy=-φφ(z)+EyΔA(i,j)=diff(eq(1),umks(3))[i] end end det_AA=det(AA) ----> equazione in N Nc=eval(solve(det_AA)) L=“sol” calcola indice numerico.

Modellizzazione della trave: problema flessionale 29/03/2023

Modello Timoshenko

Hp piccoli gradienti di spostamenti materiale elastico lineare isotropo.

Le travi sono tozze se L < 10 D. Per esse non vale il modello di Euler-Bernoulli. Nel caso di travi snelle L > 10 D. Il modello di Timoshenko tende il modello di Eulero-Bernoulli.

Il modello di Timoshenko ha come ipotesi costitutiva la genesi sensata retto a deformazione avere temporale e Nota piano yz : U_x(x,y,z)=0.

Spostamenti

U_x(x,y,z)=U-ζφ(z) U_y(y,z)=U_y W_x(y,z)=W_y-yφ(z) U(z) e φ(z) sono funzioni indipendenti.

Deformazioni

Ex=∂u/∂x Ey=∂u/∂y Ez=∂u/∂z γ=φ=ε γ_xy=∂u/∂y χ=q" ---->ε-ζφ(z)=ζφ’(z) δ=u’(z)+zφ.

Quelle che utilizzeremo sono: χ_x(z) = φ'(z) δ(z) = ú(z) + φ(z) → differenze con Effetto Bernoulli.

Modello costitutivo

Tensore: σ_z = E ε_z = Eε = Eyκ = Eyφ' → stessa relazione che attraverso anche l'Effetto Bernoulli.

Δγ_yz = γ_zy = G γ_yz (u' + φ) T_y = ∫_Aτ_yz dA → (nuova).

Modello di Eulero Bernoulli

γ_yz = 0 → γ_zy = 0 → T = 0.

Il Taglio in questo modello è calcolato dall'equilibrio e non può essere risolto a partire dal legame costitutivo.

Sollecitazioni

N = ∫_A σ_z dA = ∫_A Eγφ' dA = Eφ' ∫_A 1/A dA = 0.

M_x = M_z ∫_A (yσ_zdA = ∫_A Eγφ' dA = E“φ'→y&rdbl;...delle x rispetto Ris, della più alte e sostituendo si prova nelle più delle b si marca e continua M di livre...

H = 2(γz ú Eú - 1)G - Eγφ H = ...T_s = ∫_A∫dA = ∫_G (uγ + φ)dA = Gγ (u + φ) (nuova).

Le eq. de legame costitutivo sono: M = E T γ x E Tφ T = G A δ = G A γ (u + φ) δ = u + φ→ Eq. costitutive.

Fattore di deformazione al taglio

Fattore di deformazione al taglio (determinabile solo dalla geometria delle sezioni trasversali).

Forza di Navier

σ = E·ε = E3·χ = ∀_MI I(lo stessa cosa vale per Euler-Bernoulli).

Equilibrio

Equilibrio: T' = -q, M' = T Eq di equilibrio.

Formuliamo il problema dell'equilibrio elastico.

Incognite: u(z), φ(z) spostamento χ(z), δ(z) deformazioni T(z), M(z) caratteristiche della sollecitande 6 incognite.

Equazioni: δ = ε +φ | χ = φ' | Eq. di coerenza T = GA_sχ, M = EIχ Eq. costituite 6 equazioni T' = -q, M' = T Eq. di equilibrio.

1) La soluzione

Scrivo le equazioni di equilibrio in termini degli spostamenti.

Formuliamo il problema dell'equilibrio elastico in termini di spostamenti.

Incognite: spostamenti u(z), φ(z) M' = T eq. di equilibrio (parto da qui).

Sostituisco il legale costrutto: M = EIχ e T = GA_s δ Sub (EIχ)' = GA_s δ.

Sostituisco le eq. di concorrenza: χ = φ' e δ = ε + φ e ottengo.

(EI ϕ''') = GAS (γ - 4ϕ)        1^o → Eq. d. equilibrio in termini di spostamenti Es EI=cost Rato dall'altra e