Appunti di Teoria delle Strutture - Parte 9 (metodo degli elementi finiti, problema assiale)

Sostituisci queste approssimazioni nella formula dell'energia

Piccole onde.

Calcola le variazioni e ottengo un sistema di m_w + m_x + m_y equazioni in m_w + m_x + m_y incognite ^∫T _Xwx/y = 0.

Il sistema è risolubile se le funzioni approssimate scelte l.i. tra loro.

Metodo degli elementi finiti 3/05/2023

Vedremo come il Metodo variazionale approssimato Ritz è un particolare caso del metodo degli elementi finiti (FEM).

Le funzioni approssimanti devono:

• Soddisfare i requisiti di continuità.
• Essere l.i. e complete.
• Soddisfare le condizioni al contorno.

Tutti i metodi approssimanti sono basati sull'energia!

I requisiti sono:

• Il metodo deve avere una buona formulazione matematica.
• Il " " essere applicato indipendentemente dalla complessità del dominio (la procedura deve valere sempre).
• Devo sapere causa far affluire la soluzione approssimata tendalla soluzione esatta (devo sapere la convergenza del metodo).
• Il metodo deve essere facilmente implementabile in codici di calcolo.

Sostituzione delle approssimazioni nell'energia

Sostituisco queste approssimazioni nella formula dell'energia, prendo l'Ecle.

Calcolo le derivate e ottengo un sistema di m_w+m_x+m_y, equazioni in m_w+m_x+m_y incognite _{∫∫ ∂fw,x,y} ^A/3 = 0.

Il sistema è risolubile se le funzioni approssimanti scelte l.i. tra loro.

Metodo degli elementi finiti 3/05/2023

Vedremo come il Metodo variazionale approssimato può prevedere l'uso del metodo degli elementi finiti (FEM).

Le funzioni approssimanti devono:

• Soddisfare i requisiti di continuità.
• Essere l.i. e complete.
• Soddisfare le condizioni al contorno.

Tutti i metodi approssimanti sono basati sull'energia!

I requisiti sono:

• Il metodo deve avere una buona formulazione matematica.
• Il " " essere applicato indipendentemente dalla complessità del dominio (la procedura deve valere sempre).
• Devo sapere comunque giustificare la soluzione approssimata trovata alla soluzione esatta (devo sapere la convergenza del metodo).
• Il metodo deve essere facilmente implementabile in codici di calcolo.

Vantaggi del FEM

Le funzioni approssimanti sono definite in modo semplice.

Il dominio continuo viene diviso in domini più piccoli detti "elementi finiti" (discretizzazione del dominio).

Il problema viene formulato su ogni singolo sottoambiente = Σ₌₁ Φ() coefficienti incogniti funzioni approssimanti assegnati (solo punti).

Rappresentano gli spostamenti dei nodi della discretizzazione del dominio.

Applico il metodo al problema della trave.

Problema 1D della barra

Modello trave: comportamento assiale.

w(z) spostamenti dei punti dell'asse in direzione z.

FEM: asta (elemento finito 1D) (TRUSS).

𝕂() spostamenti dei punti dell'asse in direzione x.

0 ≤ x ≤ l.

EA'' + β = 0 → equazione di campo in 0<x<l.

(0) = 0 = EA ε.

N() = EA'().

EA'(l) = P condizioni al contorno.

Formulazione energetica

Formulazione energetica: _ε = e0 e1 ... , G = ... ^T G = _Ee Φ = 1/2 ^T_EGdV = 1/2 ∫ ε_xAdV = 1/2 ∫ (el(u'(x))²dV - 1/2 (∫ ε(u'(x))² dA b dx).

Elemento finito ^ex=e^x _x=Ex_x ^{Φ = 1/2 (∫ EA (u'( x))2d_x)} → Energia Interna _{Λ = - (∫0^L fudx + pL)} → Potenziale dei carichi Π = Φ + Λ.

Metodo variazionale approssimato: introduco un'approssimazione μ(x) _-^N(∑_j=4 U_j ψ_j(x)) ueq utile _{coefficienti costanti} ^{μ'(x)=N ∑ U_j ψ_j j=₁} x: N=3 → μ(x) = u₁ ψ₁ + u₂ψ₂(x) + u₃ ψ₃(x) μ'(x)- u₁φ_1^1/2+u₂u₂φ₁ + u₃U₃[x]+ 2eφJexter - e₁₁ψ₁ + 2e₁₁ψ₁ + 4e_xεψ_xu₁₁ E2U_e ln.

Sostituisco le espressioni nell'energia e ottengo: Π(U₁,U₂,u_i).

Faccio la stazionarietà: 0 = ^∂Π/_∂Ui → sistema di equazioni lineare in U_i.

^∂J/_∂U2 = ¹/₂ ^{∫₀L [ EA ∫_U2 (w'_i(x))2]dx} − ¹/₂ EA ∫₀^L [ 2U₂ φ'₂ ψ'₂ + 2U₃ ψ'₃ ψ'₂ + 2U₃ ψ'₂ φ'₃] dx = − ∫₀^L EA ψ₂ [ U₁ ψ₁ + U₂ φ₂ + U₃ ψ₃ ] dx = ∫₀^L EA ψ₂ ⁵U_i ψ'_i.

Il sistema è risolvibile solo se ho scelto in modo opportuno le φ_i.

Λ = − ∫₀^L [ y(U_i ψ₁ + U₂ φ₂ + U₃ φ₃)] dx − ρ [ U₁ ψ_i(1) + U₂ φ₂(1) + U₃ ψ₃(1)].

∫^∂J/_∂U2 = ∫₀^L[ψ₂(x)] dx − ρψ₂(L).

Divisione dell'asta in sottodomini

Ora divido l'asta in sottodomini: y usci sulla definita da coordinate.

x_a=³/₄L.

x₃ = ¹/₂.

x₂ = ¹/₄.

x₁ = 0.

x₅ = L.

U₄⟶μ(x₄)=U₄ ⟹ψ₁(x₄)=0.

ψ₂(x₄)=0.

ψ₃(x₄)=0.

ψ₄(x₄)=1.

ψ₅(x₄)=0.

Mi ricordo se prendo un nodo J con J=1,...,5 allora: ψ_i(x_J)=       1  se i=J       0  se i≠J.

U₁    1 ψ₁

U₂    1    ψ₂

U₃    1       ψ₃

U₄     1       ψ₄

U₅                   1                 ψ₅

U₁ψ₁(x)+U₂ψ₂(x)+U₃ψ₃(x)+U₄ψ₄(x)+U₅ψ₅(x)=μ(x)       1       2       3       4       5.

Soluzione analitica.

Soluzione approssimata.

Schema degli elementi finiti (FEM)

• Discretizzazione del dominio in un numero di elementi.
• Definire le equazioni per ogni dominio.
• Assemblare le equazioni.
• Imporre le condizioni di contorno.
• Soluzione del sistema di equazioni.
• Post-processing della soluzione (Plottaggio).

• Definizione della mesh.
• Numerazione dei nodi e degli elementi.
• Assegnazione delle proprietà degli elementi.

Posso avere anche nodi con posizione variabile!

Per arrivare alla soluzione esatta devo aumentare il numero di nodi.

Attenzione: Non va bene dividere in modo uniforme gli stessi elementi, può essere con i parametri.

• Formulazione variazionale.
• Approssimazione.
• Matrice di rigidezza.

Matrice dei coefficienti del sistema KU=8.

• Relazione di continuità degli elementi - nodi.

Un nodo appartenente a più elementi.

Identificazione dei gradi di libertà essenziali.

Problema assiale

Discretizzazione del dominio

Modello matematico.

EAU'' + f = 0 0 < x < L.

Discretizzazione degli elementi finiti

• Definizione delle mesh.
• Numerazione dei nodi e degli elementi.
• Assegnazione delle proprietà degli elementi: EA.

Derivazione delle equazioni per ogni elemento

2) Derivazione delle equazioni per ogni elemento.

Ogni elemento ha 2 nodi: \( \mu^{e}_1 \), \( \mu^{e}_2 \).

\( \mu(x_a), \mu_1(e)\)       \( \mu(x_b), \mu_2(e)\).

\( N(x_a) = p[e]_1 \)       \( N(x_b) = p[e]_2 \).

Esempio: \( e:3 \to \mu^3_1=\mu_3 \, , \mu^3_2=\mu_4 \).

Agli spostamenti associo le forze nodali: \( p(e), p(e)_2 \).

All'elemento \( e: \Omega(x_a, x_b) \to he = x_b-x_a \).

Formulo il problema in termini di spostamenti: \( \Pi(u)=\frac{1}{2} \int_{x_a}^{x_b} [w]'^2 dx - \int_{x_a}^{x_b} \beta u dx [p_1^{(e)} \mu(x_a) + p_2^{(e)} \mu(x_b)]\).

Scrittura del problema su singolo elemento.

Matrice di rappresentazione su singolo elemento.

\( \mu_e = \sum_{i=1}^{2} \mu_i^{(e)} \psi_i (x) = \mu^e_1 \psi_1 (x) + \mu^e_2 \psi_2 (x) \).

\( \longrightarrow \psi_1(x_a)=1 \).

\( \longrightarrow \psi_2(x_a)=0 \).

\( \psi_1(x_b)=0 \) \( \longrightarrow \psi_2(x_b)=1 \).

\( \psi_1(x) = \alpha x + b \).

\( \psi_1(x_a)=1 \).

\( \psi_2(x=x_b)=0 \).

Sono veri per tutti gli elementi.

Abbiamo: \( \psi_1(x) = \frac{1}{he} x + b = \frac{x_b-x}{he} \).

ψ₂ = αx + b.

ψ₂(X = X_A) = 0.

ψ₂(X = X_B) = 1.

αX_A + b = 0.

αX_B + b = 1.

α(X_A - X_B) = -1 => α = ¹/_{XB - XA} = ¹/_he.

b = -^X_A/_{XB - XA} = -^X_A/_he.

ψ₂(x) = ^{x - X_A}/_he = ^{x - X_A}/_he.

Quindi: μ = μ₁^e(^{X_B - x}/_he) + μ₂^e(^{x - X_A}/_he).

Esercizio: travi a telaio reticolare - assemblaggio

8 nodi.

13 elementi asta.

Elementi N1 N2 H 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 5 1 6.

Nodi xy 1 0 0 2 l 0 3 2l 0 4 3l 0 5 4l 0 6 l h 7 2l 2h 8 3l h.

Mat.1231∈AS.

Per definire la matrice bleauva di connettività (B) è importante nell'assemblaggio.

La riga restituisce il numero dall'elemento. La colonna il numero del vado.

Per ogni vado ho 2 CO: _Ux=U _Uy=V.

Se N_uni=8 => N_{uni di CO} :2.8=16.

La matrice di rigidezza globale [16x16].

Oppure.

Per fare l’assemblaggio oltre alla matrice ©bleaume ho bisogno [sic] di un'altra matrice che per ogni nodo associa le equazioni associate al nodo (matrice delle equazioni dei nodi) Q. Considero l'elemento 9: Alla matrice B guardo la riga 9 Nodi in 9 e vado alla 3ᵃ e 8ᵃ riga e trovo le equazioni associate.

Il modo 3 e 8.

Modo 3 → 5^o eq e 6^o eq.

Modo 8 → 15^o eq e 16^o eq.

Vado nella matrice di rigidezza dell’elemento i dove moltiplicatori di proiezione S(k₃₁⁽⁵⁾ k₃₂⁽⁵⁾ k₃₃⁽⁵⁾ k₃₄⁽⁵⁾)(U₅ U₆ = (F₅)U₁₅ (F₆)U₁₆) (F₁₅) (F₁₆).

U_X¹⁽⁸⁾ - U₅ , U_Y³⁽⁵⁾ - U₆ , U_X²⁽⁵⁾ - U₁₃ , U_Z³⁽⁵⁾ - U₁₆.

Iposizioni dir del modo dell’elemento S che coincide al modo 3.

(Es. k₁₃ andrà a finire nella riga 5, colonna 5).

Ho imposto le condizioni di contorno:

• Modo 1 → direzione x e y.
• Modo 5 → direzione y.

Sostituzioni impediti:

• Tipo 1, colonna 1 → U₁=0, U₂=0.
• Tipo 2, colonna 2 → U₆=0.
• Tipo 10, colonna 10.

La forza agisce sul nodo 8, solo il nodo 8 equilibria deve essere scritto rispetto alle forze applicate (eq 16), tutte le altre forze nodali saranno tutte nulle. Estraggo le matrici (3x13) – Trovo il vettore F che somministra a ogni elemento e trovo le reazioni vincolari e gli sfalsimodi.