Appunti per superare l'orale di Fluidodinamica con passaggi spiegati passo passo

Fluido5: Determinazione di integrali e momenti

Determinazione di integrali

DIds = (y)dA = y sin dAdM = ds y = y² sin dAM = ∫_A dM = ∫_A y² sin dA = sin ∫_A y² dA∫_A y² dA = ∫_A (y_G + y'_I)² dA == ∫_A y_G² dA + 2 y_G ∫_A y' dA + ∫_A y'² dA

∫_A y'² dA = y_G² A + I_GI = y_G² A + I_GM = sin (y_G² A + I_G)M = sin y_G Ay_G² A + I = y_G y_cp Ay_cp = y_G + ^I/_{A ycp}

Determinazione di y_cp

dS = p(y) dA = ρg y sinθ dA      SPINTA IN ydM = dS y = ρg y² sinθ dA        MOMENTO INFINITESIMO

M = ∫_A dM = ∫_A ρg y² sinθ dA = ρg sinθ ∫_A(y² dA)      MOMENTO DI S RISPETTO AD D

∫_A y² dA = ∫_A (y_G + y'₁)² dA = ∫_A (y_G² + 2y_G y'₁ + y'₁²) dA == ∫_A y_G² dA + 2 y_G ∫_A y'₁ dA + ∫_A y'₁²dA= y_G² A + 2 y_G ∫_A y'₁ dA + ∫_A y'₁² dA      = 0 ESSENDO MOMENTO DI INERZIA RISPETTO LA DEF. DEL BARIO RISPETTO AL BARYCENTRO A SÉ STESSO

∫_A y² dA = y_G² A + ∫_A y'₁² dAI = y_G² A + I_GM = ρg sinθ (y_G² A + I_G)

CERCHIAMO UNA SPECIFICA y NELLA QUALE APPLICARE S PER OTTENERE PROPRIO M(OVVERO CONSIDERATO LA DISTRIBUZIONE DI FORZE DOVUTE ALLA PRESS. CONDENSATA IN UN PUNTO)

M = ρg sinθ (y_G² A + I_G) = S y_cpM = ρg y_G sinθ (y_G sinθ A + I_G) = ρg y_G sinθ A y_cpy_G² A + I = y_G y_cp A    ⇒    y_cp = y_G + ^I/_{A ycp}

Accelerazioni e visioni di Lagrange ed Eulero

Posizione secondo Lagrange (traiettoria della particella):

\[\mathbf{r}_P(t) = x_P(t)\hat{i} + y_P(t)\hat{j} + z_P(t)\hat{k}\]

Velocità secondo Eulero:

\[\mathbf{u}_P(t) = u(x,y,z,t)\hat{i} + v(x,y,z,t)\hat{j} + w(x,y,z,t)\hat{k}\]

Quindi possiamo unire le due visioni:

\[\begin{align*}\mathbf{u}_P(t) & = u \left(\mathbf{r}_P(t),t \right)\hat{i} + v \left(\mathbf{r}_P(t),t \right)\hat{j} + w \left(\mathbf{r}_P(t),t \right)\hat{k} = \dot{\mathbf{u}} \left(\mathbf{r}_P(t),t \right)\\\mathbf{A}_P(t) & = \frac{d}{dt} \mathbf{u}_P(t) = \frac{d}{dt} \dot{\mathbf{u}} \left(\mathbf{r}_P(t),t \right) = \ddot{\mathbf{u}} \left(\mathbf{r}_P(t),t \right)\end{align*}\]

Vs. Lagrange visione fissa Ci concentriamo sulla componente X per facilità:

\[A_x = \frac{d}{dt} \left(\frac{d}{dc} u \left(\mathbf{r}_P(t),t \right) \right)\]

\[\begin{align*}& = \frac{\partial u}{\partial x_P} \dot{x}_P + \frac{\partial u}{\partial y_P} \dot{y}_P + \frac{\partial u}{\partial z_P} \dot{z}_P + \frac{\partial u}{\partial t} \\& = \frac{\partial u}{\partial x_P} \dot{x}_P + \frac{\partial u}{\partial y_P} \dot{y}_P + \frac{\partial u}{\partial z_P} \dot{z}_P + \frac{\partial u}{\partial t}\end{align*}\]

\[Q_x = \frac{\partial u}{\partial t} + \dot{x_P} \frac{\partial u}{\partial x} + \dot{y_P} \frac{\partial u}{\partial y} + \dot{z_P} \frac{\partial u}{\partial z}\]

\[\begin{align*}& = \frac{d\omega}{dt}+ x \frac{\partial \omega}{\partial x} + y \frac{\partial \omega}{\partial y} + z \frac{\partial \omega}{\partial z}\end{align*}\]

Ovvero:

\[\ddot{u} = \dot{u} + \dot{u} \cdot \nabla \cdot (\cdot)\]

Notazione integrata Generalizzando: derivata sostanziale

\[\frac{d}{dt} = \frac{\partial}{dt} + \dot{u} \cdot \nabla \cdot \]

Tensore velocità di deformazione

Lezione 11 2022

μ_A = μ₀ + ∂μ₀/∂ξ ξυ_A = υ₀ + ∂υ₀/∂η ημ_B = μ₀ + ∂μ₀/∂ξ ξυ_B = υ₀ + ∂