Appunti per superare l'orale di Meccanica razionale con passaggi spiegati passo passo

Cinematica relativa

P - O = P - O + O' - O_r = _r' + cxⁱ + y^j + z^k = x'^i' + y'^j' + z'^k' + c_v = _v + _v^'_v˙ = d/dt (x'^i' + y'^j' + z'^k' + c) = _c˙ + x˙^i' + x'^̇i' + y˙^j' + y'^̇j' + z˙^k' + z'^̇k' = _v˙ + _v˙'

Velocità di trascinamento e relativa

Velocità di trascinamento: _c˙ + x˙^i' + y˙^j' + z˙^k'

Velocità relativa: x'^̇i' + y'^̇j' + z'^̇k'

Formule di Poisson

• _i'̇ = _ω × _i'
• _j'̇ = _ω × _j'
• _k'̇ = _ω × _k'

Essendo _i'̇^⊥ _i' → ∃ _ω˙: _i'̇ = _ω˙ × _i'

ω₂ però è diverso per i 3 versori

• _j'̇ = ω₂ × _j'
• _k'̇ = ω₃ × _k'

Quindi devo dimostrare che ω₁ = ω₂ = ω₃

Scrivo _ω˙₃ = α₂^i' + β₃^j' + δ₃^k'

Orale Meccanica Razionale Cinematica Relativa P-O = P-O' + O'-O

\(\vec{r} = \vec{r'} + \vec{c}\)

\(\vec{\dot{r}} = \frac{d}{dt} (x'\vec{i'} + y'\vec{j'} + z'\vec{k'} + \vec{c}) = \vec{\dot{r'}} + \vec{\dot{c}} = \vec{c'} + \dot{x'}\vec{i'} + \dot{y'}\vec{j'} + \dot{z'}\vec{k'} + \vec{\dot{c}}\) = \(\vec{c} + \dot{x'}\vec{i'} + \dot{y'}\vec{j'} + \dot{z'}\vec{k'}\) = \(\vec{C} + \dot{x'}\vec{i'} + \dot{y'}\vec{j'} + \dot{z'}\vec{k'}\) = \(\vec{\dot{T}} + \vec{v'}\)

Velocità di trascinamento e relativa

Velocità di trascinamento (Velocità che il punto avrebbe se fosse immobile nel sistema mobile)

Velocità relativa (Velocità del punto nel sistema mobile)

Formule di Poisson

Le formule di Poisson ci servono per capire \(\dot{i'}; \dot{j'}; \dot{k'}\)

Lezione 10 Pag 56

\(\exists!\ \vec{\omega}\) tale che

• \(\dot{i'} = \vec{\omega} \times \vec{i'}\)
• \(\dot{j'} = \vec{\omega} \times \vec{j'}\)
• \(\dot{k'} = \vec{\omega} \times \vec{k'}\)

Dimostrazione

Essendo \(\dot{i'} \perp \vec{i'}\) → \(\exists\ \vec{\omega_i} : \dot{i'} = \vec{\omega_i} \times \vec{i'}\)

\(\omega_2\) però è diverso per i 3 versori, in generale

• \(\dot{j'} = \omega_2 \times \vec{j'}\)
• \(\dot{k'} = \omega_3 \times \vec{k'}\)

Quindi devo dimostrare che \(\omega_1 = \omega_2 = \omega_3\)

Scrivo

• \(\vec{\omega_i} = \alpha_1 \vec{i'} + \beta_1 \vec{j'} + \delta_1 \vec{k'}\)
• \(\vec{\omega_2} = \alpha_2 \vec{i'} + \beta_2 \vec{j'} + \delta_2 \vec{k'}\)
• \(\vec{\omega_3} = \alpha_3 \vec{i'} + \beta_3 \vec{j'} + \delta_3 \vec{k'}\)

Sapendo che C′ • J′ = C • J ∀t

Posso scrivere che d/dt(C′ • J′) = 0

Sviluppo la derivata

Ċ′ • J′ + C′ • J̇′ = 0

Sostituisco le derivate Ċ , J̇

[ω̄′ × C′] • J′ + C′ • [ω̄′ × J′] = 0

Perturbazione ciclica

[ω̄′ × C′] • J′ - C′ • [K′] • x̄ = 0

Sviluppo i prodotti vettoriali

[K′ • x̄] • ω̄′ - C′ • [K′] • x̄ = 0

γ̇₁ - γ̇₂ = 0

γ₁ = γ₂

ω_i • K′ = 0 essendo la proiezione di ω_i lungo K′

Possiamo ripetere tale processo per tutti i fattori fuori diagonale ottenendo

γ₁ ≠ γ₂

i α = α₁ β₁ ≠ β₂

posso scegliere gli uguali a α, β, γ essendo liberi

Dobbiamo ancora dimostrare che ω sia unico

Per assurd supponiamo ∃ ω̄′ tale che:

• {Ċ′ = ω̄′ × C′ = ω̄′ × C′}
• {J̇′ = ω̄′ × J′ = ω̄′ × J′}
• {K̇′ = ω̄′ × K′ = ω̄′ × K′}
• {(ω − ω′) × C′ = 0}
• {(ω − ω′) × J′ = 0}
• {(ω − ω′) × K′ = 0}
• (ω − ω′) ‖ C′
• (ω − ω′) ‖ J′
• (ω − ω′) ‖ K′

Però (ω − ω′) non può essere parallelo coniugato radicalmente a 3 versi ortogonali

=⇒ ω − ω′ = 0 =⇒ ω′ = ω