Appunti Fluidodinamica

Teoria fluidodinamica

File (2) proprietà dei fluidi

Definizione di liquido e fluido

Liquido: il liquido assume la forma del contenitore in cui è inserito, in presenza della forza gravitazionale genera una superficie libera (il gas non è in grado di generare tale superficie).

Fluido: un fluido a differenza di un solido quando viene sottoposto ad uno sforzo continua a deformarsi e la tensione interna è proporzionale alla velocità di deformazione.

Ʈ = sforzo di taglio.

Superficie superiore e inferiore: velocità del fluido.

Nei solidi è proporzionale ad = velocità della parete α nei liquidi ad dove.

Parte centrale: velocità con quest’ultimo è la velocità di andamento triangolare.

Sforzi deformazione

Lo sforzo è una forza per unità di area ed è un vettore quindi possiamo scomporlo in direzione normale e tangenziale.

Pressione: solo componente normale.

Viscosità: ha entrambe le componenti ma viene maggiormente considerata la componente tangenziale.

Proprietà

1. Intensive sono le proprietà indipendenti dalla massa (tempo, pressione ecc.).
2. Estensive sono le proprietà dipendenti dalle dimensioni del sistema.

Le proprietà estensive possono diventare intensive semplicemente dividendo per la massa e prendono il nome di proprietà specifiche.

v = V/M (volume specifico) e = E/M. (energia specifica)

Ipotesi del continuo

Possiamo considerare che la materia è formata da atomi che sono ben distanti tra loro al punto tale da non risentire delle forze d’interazione e quindi possiamo trattare la sostanza come un'unica materia priva di vuoti.

Affinché l’ipotesi sia utilizzabile è necessario che il numero di Knudsen sia inferiore a 0,01 dove per numero di Knudsen si intende il rapporto tra il cammino libero medio e la dimensione caratteristica.

= < 0.01 dove è il cammino libero medio ovvero il cammino medio tra 2 molecole dopo l’urto.

Densità

= ( )

Si definisce densità la massa per unità di volume 3.

• Per un gas la densità dipende dalla pressione e temperatura.
• Per un liquido la densità varia pochissimo con la pressione ed è molto più sensibile alla temperatura tanto che se non c’è variazione di temperatura possiamo supporre il liquido incomprimibile.

Legge di stato

Lega la temperatura alla pressione.

p v = R T oppure p = ρ R T

Viscosità

È una proprietà che rappresenta la resistenza interna ad un fluido in moto.

(Viscosità dinamica vedere dimostrazione quaderno)

• Fluido Newtoniano. Nel fluido newtoniano la viscosità non varia con la velocità ma in sola funzione della pressione e temperatura, anche se la dipendenza dalla pressione è trascurabile in quanto debole.
• Nei gas µ aumenta con la temperatura.
• Nei liquidi µ diminuisce con la temperatura.

Tensione superficiale

La superficie del liquido si comporta come una membrana elastica tesa e sottoposta ad una tensione le forze che tirano la membrana sono generate dalle forze attrattive tra le molecole.

• Agisce solo sulla superficie (2πR) 2Δ.
• Agisce su tutta l’area (πR )Δ.
• È inversamente proporzionale al raggio perciò all’aumentare del raggio la pressione diminuisce e la goccia si romperà in quanto non sarà più bilanciata.

La tensione della goccia è bilanciata dalla forza generata dalla pressione.

Angolo di contatto

Dipende dal fluido distinguiamo due tipologie di fluido il fluido che bagna e il fluido che non bagna.

(a) Se il fluido è un fluido che bagna vuol dire che le pareti attraggono a se le molecole di fluido perciò l’angolo sarà minore di 90 gradi.

(b) Se il fluido è un fluido che non bagna vuol dire che le molecole di fluido sono attratte da altre molecole di fluido stesse che quindi non vengono attratte dalla parete formando un angolo maggiore di 90 gradi.

Effetti capillari

Con effetti di capillarità intendiamo la risalita o discesa di un fluido in un tubo di piccole dimensione.

• Risalita avviene se il fluido bagna.
• Discesa avviene se il fluido non bagna.

La superficie libera all’interno del tubo è chiamata menisco.

Con il bilancio delle forze possiamo calcolare la risalita.

Slide (3) pressione di un fluido in quiete

Pressione in un punto

Definiamo la pressione in un punto in un modo puramente meccanico come una forza fratto un area, con la dovuta scomposizione della forza nella direzione normale e tangenziale.

Se il fluido è in quiete possiamo trascurare la componente tangenziale in quanto le forze viscose sono nulle.

Forza totale dovuta alla pressione nella superficie A.

In un fluido può sopportare soltanto spinte dovute alla compressione che ammetto valori di pressione positivi, mentre non riesce a sopportare spinte di trazione che ammetterebbero valori di pressione negativi.

Pressione assoluta e relativa

La pressione assoluta può assumere valori solamente positivi mentre è diverso per la pressione relativa definita come P = P – P che può r a assumere valori anche negativi, in tal caso parleremo di depressione.

Isotropia della pressione

La pressione di un fluido è indipendente dalla direzione secondo cui agisce.

Dim ∑ = ∆z∆y − ∆y∆l sin = 0 1 3{ 1∑ = ∆x∆y − ∆y∆l cos − ∆x∆y∆z = 0 2 3 2

Ovviamente ∆l ∆l sinθ = ∆z ∆l cosθ = ∆x ∑ = ∆z∆y − ∆y∆l sin = 0 = 1 3 1 3{ 1 1∑ = ∆x∆y − ∆y∆l cos − ∆x∆y∆z = 0 − − ∆z = 0 2 3 2 32 2

Dato che stiamo cercando la pressione in un unico punto possiamo calcolare il limite.

lim = = 1 3 ∆→0 1

lim = − − ∆z = 2 3 2 32 ∆→0

Dimostrato che la pressione non è un vettore e non dipende dalla posizione ma è uguale in tutte le direzione.

Considerando il fluido in moto.

∑ = Se il fluido è in moto quindi i nuovi sistemi diventano ∆x∆z∑ = ∆z∆y − ∆y∆l sin = ∆y 1 3 2{ 1 ∆x∆z∑ = ∆x∆y − ∆y∆l cos − ∆x∆y∆z = ∆y 2 3 2 2∆x − = 1 3 2{ 1 ∆z − − ∆z = 2 3 2 2

Calcolando nuovamente i limiti otteniamo.

∆xlim = + = 1 3 32∆→0 1

∆zlim = + ∆z + = 2 3 32 2∆→0

Anche se il fluido è in moto per la pressione non cambia nulla.

Legge di Stevino

= la pressione può variare solo lungo la direzione orizzontale.

∑ = − ∆x∆y + ∆x∆y − ∆x∆y∆z = 0 2 1

Semplificando otteniamo che − + − ∆z = − + − ( − )2 1 2 1 2 1

Ovvero + = + 1 1 2 2 + = = Chiamando si ha che 1 2 + = + ℎ + = 1 2

Altezza piezometrica

Dalla relazione di Stevino sottraiamo il termine costante ottenendo così dove ℎ =.

• Z è la quota geodetica.
• La quota Z coincide con la costante K ed è la quota alla 0 0 quale la pressione relativa si annulla definendo così il piano dei carichi idrostatici relativi.

In un fluido in quiete la pressione aumenta linearmente con la distanza dal piano dei carichi idrostatici relativi.

Dalla relazione precedentemente scritta z + h = z 0 definiamo ℎ = chiamata altezza piezometrica.

Allora si può scrivere dove Z definisce la posizione del piano dei carichi idrostatici 0 a assoluti che si trova più in alto rispetto al piano dei carichi idrostatici relativi esattamente di una quota h a.

Legge di Pascal

2 = = 1 2 2 1 1

Dim ∑ ( ) ( ) = − + + − − = 0 2 2 = ()

Dove perciò nell’equazione sopra posso dividere tutto per dxdy e ottenere −()=.

La relazione sopra trovata vale anche se la densità è costante e lo si può verificare integrando 2 2 ()∫ ∫∆p = P( ) − P( ) = = −2 1 1 1

Da cui otteniamo che P( ) − P( ) = −( − )2 1 2 1.

Possiamo notare che se la densità è costante otteniamo nuovamente la legge di Stevino.

Liquidi immiscibili

Per trovare il p.c.i.r del punto 2 si traccia il prolungamento del diagramma di pressione e si vede quando questo arriva a zero.

1= ℎ 2 (2 distanza tra la superficie libera di un fluido e il suo p.c.i.r.

Stevino può essere applicato solo se il fluido è costante dato che nella complessità i fluidi non sono costanti ma localmente si, applichiamo Stevino fluido per fluido.

Serbatoio chiuso

Per un serbatoio chiuso, per un serbatoio aperto il punto in cui la pressione assoluta coincide con la pressione atmosferica è sulla superficie libera.

Se il fluido si trova in un serbatoio chiuso non sempre è così.

• L’ultima parte del grafico di pressione ha un tratto retto perché il gas ha pressione costante.
• P ha segno negativo perché sopra al p.c.i.r r,1.
• P = P perché i gas hanno pressione gas r,1 costante e per questo assumeranno il valore dell’acqua all’interfaccia.

Manometro

Slide (4) calcolo delle spinte

Spinte superfici piane

Forza di spinta = ∫ = ∫ = ∫ =

• Y posizione del baricentro g.
• La forza è pressione applicata al baricentro per l’area.

Centro di spinta.

Andiamo a cercare a quale quota dobbiamo applicare S affinché si ottiene il momento rispetto al polo O, l’intersezione tra la retta d’azione e la superficie è detto centro di spinta dove il momento d’inerzia è definito come perciò.

Spinte di fluidi immiscibili con esempio

Spinte di fluidi immiscibili con esempio (quaderno).

Spinte di una superficie curva

Per questo motivo c viene presa unitaria.

Calcolo dei momenti.

• Il momento di F deve essere uguale al momento di S z S e P quindi possiamo x scomporre F e considerare singolarmente i momenti dovuti da F e F0 v.
• La spinta verticale è il peso del volume di fluido sopra alla superficie curva ed è applicabile nel baricentro.
• Per calcolare il momento di S si può supporre di essere lungo una superficie x piana e calcolare il momento come tale.
• (Esempio quaderno)

Principio di Archimede

Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l’alto pari al peso del volume di fluido immerso e passante per il baricentro.

Generalizziamo la formula.

Per Stevino sappiamo che.

Quindi possiamo scrivere la spinta tramite il teorema della divergenza come.

I segni meno sono dovuti al fatto che la normale è uscente dal corpo e la pressione lavora solo a compressione.

−̂ = − ∯ ̂ = ∫ ̂− = −

• La spinta di galleggiamento è uguale al peso di volume spostato qualsiasi volume sia.
• Per qualsiasi forma le forze orizzontali si bilanciano (quaderno).

Altezza massima di risalita.

La pressione è uguale alla spinta ma la pressione dipende dal volume totale dell’oggetto per la sua densità mentre la spinta dipende dalla densità del fluido per il volume di materiale immerso.

Equilibrio dei corpi immersi

1. Densità costante. Il corpo si troverà in equilibrio se il baricentro e il centro di spinta coincidono, ci sarà quindi equilibrio delle forze e conseguentemente anche dei momenti.
2. Densità variabile. Il baricentro del corpo sarà in una posizione diversa del centro di spinta per avere equilibrio i due vettori devono essere lungo la stessa retta verticale.

Se il baricentro e il centro di spinta non si trovano lungo la stessa retta allora si genererà un momento che farà ruotare il corpo.

• Equilibrio instabile; se il baricentro è posto più in alto del centro di spinta si verificherà una condizione di equilibrio instabile.
• Equilibrio stabile; se il corpo fosse immerso parzialmente allora anche se il baricentro si trovasse in una posizione superiore del centro di spinta potremmo avere un equilibrio stabile questo perché perturbando l’oggetto il centro di spinta (che è il baricentro del volume spostato) si sposterà in una nuova posizione creando dei momenti rispetto un punto chiamato metacentro situato su una nuova retta d’azione, se questo punto è situato più in alto del baricentro allora avremmo equilibrio stabile; la distanza tra il baricentro (G) e il metacentro (M) è detta altezza metacentrica e più è elevata questa altezza e maggiore sarà la stabilità del corpo.

Slide (5) cinematica

Descrizione Lagrangiana e Euleriana

• Lagrangiana; descrizione del moto di ogni singola particella.
• Euleriana; si definisce un dominio di fluido e all’interno di questo dominio vengono definite opportune variabili di campo.

Legame tra le due visioni.

Dim con la velocità.

Descrizione Lagrangiana Descrizione Euleriana cerchiamo una relazione.

• Posizione di una certa particella P nel tempo.
• Derivando temporalmente la posizione otteniamo la velocità.

La velocità di una particella P in un certo istante di tempo deve essere uguale alla velocità nel campo di fluido allo stesso istante di tempo.

Accelerazione della particella.

Lo stesso risultato ottenuto sopra adesso lo riapplichiamo per l’accelerazione.

⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ () () ()= + + + = + + + ⃑ ⃑ ⃑ ⃑(), (), (),= + ⃑⃑⃑ ) + (⃑⃑⃑ ) + (⃑⃑⃑ )( ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ = = + + +

(Colori = relazione della velocità sopra dimostrata)

Si può esprimere la relazione sopra in forma compatta ∇⃑⃑ ⃑ = = + ⃑ ∙ ∇⃑ ⃑ ∙ ∇( )

Derivata convettiva.

Derivata locale. È il prodotto vettoriale tra il vettore velocità.

Derivata parziale fatta esclusivamente rispetto e il gradiente al tempo.

• Se ⃑ =0 ⃑ ∙ ∇⃑ ≠0. Il moto è stazionario, la particella non varia nel tempo ma lungo la propria direzione può cambiare proprietà.
• Se ⃑ =0 ⃑ ∙ ∇⃑ = 0 allora parliamo di flusso stazionario e uniforme.

Linee di corrente

È una curva che è ovunque tangente al vettore velocità.

Affinché questo sia vero le componenti della velocità devono essere proporzionali a quelle dello spostamento.

Definizioni.

• Il luogo geometrico dei punti di una famiglia di linee di correnti passanti per una linea chiusa da luogo ad un tubo di flusso, il tubo di flusso non può essere attraversato dal fluido in quanto la velocità di quest’ultimo dovrà essere tangente alle linee di flusso per definizione.
• Un volume che contiene sempre le stesse particelle di fluido prende il nome di volume materiale.

Traiettoria

È matematicamente espressa dal vettore posizione ed è l’effettivo percorso effettuato da una singola particella.

Volendo sapere l’effettiva posizione della particella ad un certo istante temporale si esegue il calcolo integrale.

Linee di fumo

È il luogo geometrico delle particelle fluide che in sequenza passano per un dato punto del moto.

Es

Tutte le particelle sono passate in 8, ma la particella 1 sarà passata in 8 all’istante t.