Appunti per l'orale di Analisi A

Domande Esame Analisi A

1. Strumenti di Dimostrazione
   • Principio del minimo intero, sia A ⊆ N un insieme non vuotoAllora A ammette minimo, cioè esiste a&sub0; ∈ N tale che a ≥ a&sub0; ∀ a ∈ A
   • Principio di induzione, ∀ P sia una proprieta' su N tale cheil numero 0 e P(m) ⟶ P(m+1) ∀ m, allora P(m) vale ∀ m.
   In altre parole, se S ⊆ N tale che 0 ∈ S e ∀ e ∈ S, alloram+1 ∈ S ○ m ∈ S ⟶ m+1 ∈ S. Tale principio si dimostra come:
   • Passo base, si dimostra che la proprieta' vale per M&sub0; (passo 0).
   • Passo induttivo, dimostrare che vale per m+1
2. Teorema del Binomio: dati a, b ∈ ℝ e m ∈ ℕ allora
   • (a+b)^m = ∑_k=0^m &binom{m}{k} a^k b^m-k
   • = (b)^m a⁰ + (m) (a+b)⁰ = 1 ⟶ ∑_k=0⁰ &binom{0}{k} a^k b^0-k = 1
   • Passo induttivo m+1 -> (a+b)^m+1 = (a+b)(a+b)^m ⟶ ∑_k=0^m &binom{m}{k} a^k b^m(a+b)
   • dimostrazione del binomio: (a+b)^m(a+b) = ∑_k=0^m &binom{m}{k} a^k b^m-k(a+b) = ∑_k=0^m &binom{m}{k} a^k b^m-k
   • = ∑_k=0^m [ &binom{m}{k} a^k+1 b^m-k + &binom{m}{k} a^k b^m-k+1 ]
   • = a^m+1 &binom{m}{0} + ∑_k=1^m &binom{m}{k} a^k+1 b^m-k + (b)^m+1 &binom{m}{m}
   • = a^m+1 &binom{m+1}{0}
   • = (a+b)^m+1

N.B. il coefficiente binomiale &binom{m}{k} := &frac{m!}{k!(m-k)!}

m=1

(a+b)¹ = ∑_k=0¹ &binom{1}{k} a^1-k b^k = (&binom{0}{1} ) b + (&binom{1}{1}) a

m=2

(a-b)² = ∑_k=0² &binom{2}{k} a^2-k b^k = &binom{2}{2} = a² - 2ab + b²

Domande Esame Analisi A

Strumenti di Dimostrazione

• Principio del minimo intero: sia A ⊂ N un insieme non vuoto. Allora A ammette minimo, cioè esiste a ∈ A tale che a ≤ b ∀ b ∈ A.
• Principio di induzione: P è una proprietà: se vale per il numero 0 e se P(m) ⇒ P(m+1) ∀ m, allora P(m) vale ∀ m.

In altre parole, se S ⊂ N tale che 0 ∈ S e n ∈ S, allora n+1 ∈ S ⇒ ∀ n ∈ S allora S=N. Tale principio si dimostra come:

• Passo Base, si dimostra che la proprietà vale per n=0.
• Passo induttivo, dimostrare che vale per m+1.

Teorema del Binomio

Detti a, b ∈ GR e m ∈ N allora (a+b)^m = ∑_k=0^m ( _k^m ) a^m-k b^k = =(b) a^m + (a) ₁^m a^m-1b + ... + ( _m^m ) a^m-1b + a⁰ b^m

Passo: n=0 ⇒ ( a+b )⁰ = 1 ⇔ ∑_k=0⁰ (₀⁰ ) (a)⁰ (b)^1-1 =1

Passo induttivo: m+1 ⇒ (a+b)^m+1 ⇔ ∑_k=0ⁿ ( _k^m ) a^m-k+1 = ∑_k=0⁰ ( _k^m ) a^mb^k + (_m+1^m) a^mb^m+1-k

= ∑_k=0⁰ ( _k^m ) a^m-k+b m^k+1 = ∑_k=0⁰ ( _k^m ) a^mb^k + a^mb + ∑_k=1^m ( _m^k ) a ^m-1b^k+1 +

= a^m+1 b^k+1 + ∑_m^m-1 ( _k^m)a^m+1+k = a₁^m+1( a^k+1b^k+1 + ₁(a^k+m-m+k₀

= ∑_k=0^m+1 ( m, k )

N.B. Il coefficiente binomiale ( ⁿ _h ) := ^m! / h! (m+h)!

n=1 (a+b)¹ = ∑_k=0¹ ( ₁^k ) a^1-k b = (0) a + (1) a^1-k b

n=2 (a-b)² = ∑_k=0² ( ₂^k ) a^1+k b^1-m = (2) a + (a)²

2. CARDINALITÀ

Dato A insieme, dato m ∈ N, si dice che A ha "cardinalità finita m" se esiste una funzi